2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Нётер, первый интеграл
Сообщение27.11.2018, 03:56 


27/09/17
31
Всем здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, какую замену в лагранжиане нужно применить, чтобы используя теорему Нётер, найти первый интеграл в данное задаче? Условие: функция Лагранжа
$$L = \frac{1}{2} t^2 (\dot{q}^2 - \frac{1}{3}q^6).$$
Были попытки замен с экспонентой, типа $$\tilde{q} = q \exp(\alpha a)$$ и аналогичное для времени, но в зависимости от параметра $\beta. Но здесь что-то получается только в общем случае, когда сумма степеней многочленов при $\dot{q}^2$ и при $\Pi (q)$ даёт $-2$. Здесь не так, очевидно.
Какие ещё замены пробовать, честно говоря, не понятно, так как каких-то особых наблюдений в процессе вообще замен в лагранжианах, кроме вышенаписанных, не сложилось.
Сдвиги, повороты координат тоже тут, конечно, не проходят.
Странный еще коэффициент пропорциональности времени, да и в квадрате. Не понятно, куда его девать.
Куда двигаться? Как в принципе решать такие задачи? Или тут решает только опыт таких вот замен?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.11.2018, 07:53 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.11.2018, 00:13 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Нётер, первый интеграл
Сообщение29.11.2018, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2338
МО
Честно сказать, не знаю, какая подстановка нужна, и зачем, а также что здесь означает термин "первый" применительно к интегралу.
Но все же хочу отметить, что у $t^2({\dot q}^2 - \frac{1}{3}q^6)dt$ легко подбирается инвариантное растяжение: $q$ растягиваем, $t$ двукратно сжимаем, $-2t\frac{\partial}{\partial t} + q\frac{\partial}{\partial q}$. Соответственно, можно применить теорему Нетер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Нётер, первый интеграл
Сообщение29.11.2018, 09:03 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Термин "первый" применительно к интегралу означает, что есть такой термин "первый интеграл".


Что бы использовать инвариантную теорию лагранжевых систем и в частности инвариантную версию теоремы Нетер обычно в задачах с неавтономным лагранжианом применяют следующую процедуру автономизации. Делаем замену времени
$$t=x(\tau),\quad \dot q=q'/x',\quad '=\frac{d}{d\tau}$$
в интеграле Действия:
$$\int Ldt=\int x^2\Big(\frac{q'^2}{x'^2}-q^6/3\Big)x'd\tau$$

Получаем автономную систему с двумя степенями свободы в обобщенных координатах $q,x$ и с лагранжианом
$$\tilde L=x^2\Big(\frac{q'^2}{x'^2}-q^6/3\Big)x'.$$
Легко сообразить (в сущности это и было написано выше), что этот лагранжиан инвариантен относительно следующей группы $x\mapsto e^{2s}x,\quad q\mapsto e^{-s}q,\quad s\in\mathbb{R}$.
Соответствующее поле симметрий
на новом конфигурационном пространстве будет $v=(v_q,v_x)=(-q,2x)$. И нетеров интеграл имеет вид
$$I=\frac{\partial \tilde L}{\partial q'}v_q+\frac{\partial \tilde L}{\partial x'}v_x$$
остается сделать обратную замену времени в этом интеграле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Нётер, первый интеграл
Сообщение29.11.2018, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2338
МО
Ясно, спасибо.

(Оффтоп)

Я просто на предмет привык смотреть с другой стороны :) в соответствии с книжечкой Н.Х.Ибрагимова.
Компоненты закона сохранения получаются как результат действия оператора Нетер (так, по крайней мере, Наиль Хайруллович его называет) на лагранжиан.
В данном случае компонента одна, $N = \xi + (\eta - \dot q \xi )\frac{\partial}{\partial \dot q} = -2t + (q + 2t\dot q)\frac{\partial}{\partial \dot q}$.
Применяем к лагранжиану, в одну строчку имеем искомый ЗС ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Нётер, первый интеграл
Сообщение29.11.2018, 17:05 


27/09/17
31
pogulyat_vyshel, простите, я ведь правильно понимаю, что $q' = \frac{dq}{d \tau} = \frac{\frac{dq}{dt}}{\frac{d \tau}{dt}} = \dot{q}$? Аналогично для $x$: $x' = \dot{x}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group