Задача про среднее квадратичное и среднее геометрическое

[Alexdov]

Здравствуйте, форумчане! Перед тем как сформулировать задачу, пару слов откуда она взялась. Ещё будучи в 8 классе я придумал одну задачу олимпиадного типа, но решить мне её не удалось. Ирония в том, что мне уже 22 года. У меня есть высшее образование по математике, но решить эту задачу с элементарной на первый взгляд формулировкой я не могу. Хотелось бы услышать ваши идеи, потому-что мои пользы не принесли. А вот и формулировка:
Существуют ли два разных натуральных числа, среднее квадратичное и среднее геометрическое которых тоже натуральное?
Буду рад любым идеям. Хотелось бы в идеале доказать без использования вышки.

[lel0lel]

$a=k_1^2-k_2^2-2k_1 k_2, b=k_1^2-k_2^2+2k_1 k_2.$ Запишите Вашу систему уравнений и получите квадратное уравнение. Попробуйте ответить на вопрос при каком условии уравнение имеет целочисленное решение.

P.S. Виноват, это результат для среднего арифметического и среднего квадратичного. Невнимательно прочитал условие. В Вашем случае методика аналогичная, только уравнение будет биквадратным.

[Alexdov]

lel0lel
Для среднего арифметического такая задача не имела бы интереса. Любые два числа с натуральным средним квадратичным имеют натуральное среднее арифметическое. Если б они были разные по парности, то мы получили бы корень из не натурального числа под корнем в среднем квадратичном.

[lel0lel]

Alexdov
Вы правы, но как-то так уж вышло. Прошу не судить строго. В Вашей же задаче, если проделать то, что было предложено, Вы получите известное уравнение и проблема будет решена.

[Alexdov]

lel0lel
Спасибо вам большое за идею. Прямо сейчас попробую, так как ответ на этот вопрос уже давно интересует.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика.

[JohnDou]

(Ответ)

Нет, таких чисел нет

(Решение)

Задача сводится к решению системы (1) в натуральных числах.
Но если (1) разрешима, то существует и решение при взаимопростых $a, b$ (оно получается из обычного путём сокращения). Рассмотрим такую систему.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} ab&=& x^2\\ a^2+b^2 &=&2y^2 \\ \end{array} \right.$$

(1)
Поскольку $a, b$ взаимопростые, можно сделать замену $a=a_1+b_1; b=a_1-b_1$
$\implies$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1^2-b_1^2 &=&x^2 \\ a_1^2+b_1^2 &=&y^2 \\ \end{array} \right.$$

(2)
Видно что $x, y$ тоже взаимопростые. Сделаем аналогичную замену $x=x_1-y_1; y=x_1+y_1; b_1=2b_2$
$\implies$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1^2+y_1^2 &=&a_1^2 \\ x_1y_1 &=&2b_2^2 \\ \end{array} \right.$$

Решением первого уравнения являются Пифагоровы тройки, т.е. $x_1=m^2-n^2; y_1=2mn$ И тогда второе уравнение запишется как $mn(m^2-n^2)=b_2^2$
Но $m, n, m^2-n^2$ взаимопростые, откуда $m=a_3^2; n=b_3^2$ и $b_2^2=a_3^2b_3^2z^2$
т.е.
$(a_3^2-b_3^2)(a_3^2+b_3^2)=z^2$ Если бы $a_3, b_3$ были одновременно нечетными, то $x_1, y_1$ не были бы взаимопростыми. Тогда

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a_3^2-b_3^2 &=&x_3^2 \\ a_3^2+b_3^2 &=&y_3^2 \\ \end{array} \right.$$

Где $x_3,y_3<b_2$
Повторяя последовательность действий от (2) получаем непрерывный цикл.
Таким образом решений нет.

Решение проверял grizzly, так что все претензии к нему.

Похоже что автор ушёл в закат, можно вернуть задачку в олимпиадный раздел?