Конструктивист примет такое доказательство?

[kotenok gav]

[off=Sender]Спасибо![/off]

[warlock66613]

kotenok gav в сообщении #1356691 писал(а):

Более чем.

Что-то не похоже. Выглядит, как будто доказано только, что $e$ не может быть рациональным, но не что $e$ - иррациональное.

[Someone]

Доказательства "от противного" конструктивисты не приемлют.

[george66]

warlock66613 в сообщении #1356793 писал(а):

kotenok gav в сообщении #1356691 писал(а):

Более чем.

Что-то не похоже. Выглядит, как будто доказано только, что $e$ не может быть рациональным, но не что $e$ - иррациональное.

Иррациональное число так и определяется (как действительное, не являющееся рациональным)

[warlock66613]

george66 в сообщении #1356843 писал(а):

Иррациональное число так и определяется (как действительное, не являющееся рациональным)

Интересно. Тогда получается, что в конструктивной математике все доказуемые утверждения, верные для всех иррациональных чисел, являются отрицательными утверждениями? (За исключением, конечно, утверждений верных для всех действительных чисел.)

[arseniiv]

george66
А известны простые примеры конкретных не иррациональных чисел, рациональность которых вывести притом нельзя?

[warlock66613]

george66 в сообщении #1356843 писал(а):

Иррациональное число так и определяется (как действительное, не являющееся рациональным)

Тогда вопрос в том, можно ли сведение некоторого утверждения к абсурду считать доказательством отрицания этого утверждения. Someone в одной старой теме утверждал, что нельзя. Если так, то обсуждаемое доказательство всё-таки неконструктивно.

[george66]

arseniiv в сообщении #1356857 писал(а):

george66
А известны простые примеры конкретных не иррациональных чисел, рациональность которых вывести притом нельзя?

Не приходит на ум. Но в интуиционистской математике вообще всё делают по-другому. Главный объект изучения - не множество действительных чисел, а упорядоченное множество (полная решётка) открытых подмножеств $\mathbb{R}$. Для неё можно дать независимую простую аксиоматику, поскольку любое открытое множество есть объединение интервалов с рациональными концами. Непрерывные функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ изображаются "правильными" отображениями этой решётки в себя (соответствуют взятию прообраза, прообраз открытого множества относительно непрерывной функции открыт)
http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/FRAMES/frames.html

-- 26.11.2018, 15:28 --

warlock66613 в сообщении #1356934 писал(а):

george66 в сообщении #1356843 писал(а):

Иррациональное число так и определяется (как действительное, не являющееся рациональным)

Тогда вопрос в том, можно ли сведение некоторого утверждения к абсурду считать доказательством отрицания этого утверждения. Someone в одной старой теме утверждал, что нельзя. Если так, то обсуждаемое доказательство всё-таки неконструктивно.

Можно (правило приведения к абсурду). Его часто путают с доказательством от противного, когда мы предполагаем $\neg\varphi$, выводим противоречие и заключаем, что верно $\varphi$ (по правилу приведения к абсурду мы получаем только $\neg\neg\varphi$)

[Someone]

george66 в сообщении #1356956 писал(а):

Можно (правило приведения к абсурду). Его часто путают с доказательством от противного, когда мы предполагаем $\neg\varphi$, выводим противоречие и заключаем, что верно $\varphi$ (по правилу приведения к абсурду мы получаем только $\neg\neg\varphi$)

Точно.
Можно ещё добавить, что тройное отрицание равно одинарному: $\neg\neg\neg\varphi\Longleftrightarrow\neg\varphi$.

[arseniiv]

george66 в сообщении #1356956 писал(а):

Можно (правило приведения к абсурду).

Да и в конструктивном мире ведь обычно вообще $X\to\bot$ принимается за определение $\neg X$, это же удобно. Куча свойств отрицания оказываются банальными следствиями свойств одной лишь импликации (и работают даже в минимальной логике, где нет аксиомы $\bot\to X$), действительно удобное определение.

[Papazol]

Чтоб новую тему не создавать спрошу тут.
Задача. Есть урна с шарами, белыми и черными. Какое минимальное количество шаров не глядя надо вытащить, чтобы среди вытащенных обязательно была пара шаров одного цвета?
Очевидно, что двух шаров недостаточно, т.к. может быть пара шаров разного цвета, а если добавить еще один шар, то он обязательно совпадет по цвету с одним из уже вытащенных, т.е. получим либо пару белых, либо пару черных шаров. Таким образом, минимальное количество равно трем.

Вопрос: решаема ли эта задача средствами конструктивной логики?

(Оффтоп)

Возможно опять про давно известные вещи спрашиваю. Попытался на эту тему в интернете найти по словам конструктивизм принцип Дирихле, но не нашел.

[Lia]

Papazol
Ну а Вы как думаете?

[Papazol]

Lia в сообщении #1365809 писал(а):

Papazol
Ну а Вы как думаете?

Подозрение такое, что раз мы не можем сказать какого цвета будет третий шар, то и дальше не можем рассуждать.

Но может есть другой способ решить эту задачу конструктивно?

[Lia]

А что, много вариантов?

[Papazol]

Lia в сообщении #1365811 писал(а):

А что, много вариантов?

Ну, если 3 шара вытащили, то не больше 8.
И что это даст?