Индуктивность катушки от числа витков

[10mV]

Kiev в сообщении #1354996 писал(а):

Никакого ЭДС у нас нет, статика, нет изменений во времени, только токи, или даже моменты.

? Не понятно, о чем речь. Индуктивность проявляется исключительно при изменении тока.
$\mathcal{E}_{i}=-\frac{d\Phi }{dt}=-L\frac{dI}{dt}$

[Kiev]

10mV в [url=/post1355001.html#p1355001]сообщении #1355001[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1354996 писал(а):

Никакого ЭДС у нас нет, статика, нет изменений во времени, только токи, или даже моменты.

? Не понятно, о чем речь. Индуктивность проявляется исключительно при изменении тока.
$\mathcal{E}_{i}=-\frac{d\Phi }{dt}=-L\frac{dI}{dt}$

ЭДС возникает при изменении тока в контуре, но данная тема про определение индуктивности, для этого переменный ток не требуется.

$$ L = \frac{1}{I} \int\limits_{s} B ds $$

[10mV]

Хорошо, в этой формуле и поле $B$ и площадь контура по к.т. интегрируется - пропорциональны $N$. В итоге - $L$ пропорциональна $N^2$

[Kiev]

Вообще-то, нет.
Это формула для вычисления индуктивности одного витка.
$N^2$ - это эффект взаимоиндукции витков.

[10mV]

Kiev в сообщении #1355013 писал(а):

Это формула для вычисления индуктивности одного витка

Эта формула не про один виток, она связывает индуктивность произвольной катушки с общим потоком в ней и током через нее. Точная и годится для катушки из одного витка, как частный случай.
Соответственно, в ней площадь и поле пропорционалены числу витков (если витки строго с одним контуром)...

PS : Поправлюсь. Интеграл в формуле подразумевает вычисление общего потока катушки. Можно посчитать интеграл для одного витка и умножить на $N$ только если у нас витки неразличимы.

[Kiev]

Да, скорее так.

[rustot]

В прямом куске провода ускоряющийся заряд создает в проводе и вокруг него электрическое поле, направленное так, чтобы препятствовать ускорению таких же зарядов в том же направлении. То есть когда все заряды в проводнике под действием поля достигают какого то ускорения (производная тока достигает какой то величины), возникающее встречное поле прекращает дальнейший рост ускорения. Такая обратная связь называется самоиндукцией. А определяемое геометрией проводника соотношение между встречным полем и вызывающим его ускорением - его индуктивностью. Вычисление индуктивности через магнитный поток - лишь опосредованный способ вычислить то самое встречное электрическое поле, и не всегда применим, например как раз к прямому проводу.

Если прямой провод свернуть в кольцо, его индуктивность немного уменьшится - потому-что поле которое мешает ускоряться зарядам в одном участке проводника одновременно помогает ускоряться зарядам в противолежащем участке. То есть суммарная эдс самоиндукции уменьшится.

Однако если его свернуть в два кольца - индуктивность резко увеличится, потому-что теперь поле ускоряющегося заряда мешает ускоряться не только соседним зарядам в проводнике, но и зарядам проводника соседнего витка

Таким образом каждый виток "мешает" каждому из остальных витков катушки и в идеале это дало бы зависимость $N^2$, но зависимость эта зависит от расстояния между парой витков и поэтому в катушке без сердечника эта зависимость значительно поменьше чем $N^2$.

[EUgeneUS]

rustot в сообщении #1355122 писал(а):

Таким образом каждый виток "мешает" каждому из остальных витков катушки и в идеале это дало бы зависимость $N^2$, но зависимость эта зависит от расстояния между парой витков и поэтому в катушке без сердечника эта зависимость значительно поменьше чем $N^2$.

В дополнение иллюстрация.
Для инженерных расчетов применяют эмпирические формулы для определенной геометрии катушки. Вот, например, формула для индуктивности однослойной катушки без сердечника:

$L = \frac{(Dn)^2}{4.5D + 10l}$, где
$L$ - индуктивность в микрогенри
$D$ - диаметр катушки в мм.
$n$ - количество витков
$l$ - длина намотки в мм.

Как видим,
а) при фиксированных геометрических размерах (всех) индуктивность катушки пропорциональна квадрату количества витков $n^2$.
б) при фиксированной длине намотки индуктивность катушки пропорциональна квадрату длины провода $(\pi Dn)^2$.
в) если зафиксируем диаметр катушки, а длину намотки выразим через диаметр провода (намотка виток к витку): $l = nd$, где $d$ - диаметр провода в миллиметрах, получим такое:

$L = \frac{(Dn)^2}{4.5D + 10nd}$, что при большом количестве витков $n >> 0.5 \frac{D}{d}$ приводит к линейной зависимости индуктивности от количества витков. Что не удивительно.

[DimaM]

10mV в сообщении #1355001 писал(а):

Не понятно, о чем речь. Индуктивность проявляется исключительно при изменении тока.
$\mathcal{E}_{i}=-\frac{d\Phi }{dt}=-L\frac{dI}{dt}$

Индуктивность возникает в зависимости магнитного потока от силы тока $\Phi=LI$ или в зависимости энергии магнитного поля $W=\frac{LI^2}{2}$.

[Kiev]

rustot,

Под самоиндукцией я имел ввиду собственный поток контура с током, через этот же контур.
Да я прочитал определение Самоиндукции, там подразумевают ЭДС-самоиндукции.
Но так как в моём случае ток постоянный, то ЭДС не возникает.
Я рассматривал модель идеальных контуров с постоянным током, в каждом из них, и объединения их в аналог катушки.

rustot в [url=/post1355122.html#p1355122]сообщении #1355122[/url] писал(а):

Если прямой провод свернуть в кольцо, его индуктивность немного уменьшится - потому-что поле которое мешает ускоряться зарядам в одном участке проводника одновременно помогает ускоряться зарядам в противолежащем участке. То есть суммарная эдс самоиндукции уменьшится.
[/math].

Не нашёл участка, на котором электрическое вихревое поле ЭДС-самоиндукции совпадает по направлению с током.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1355135 писал(а):

$L$ - индуктивность в микрогенри

Точно в микро?
У меня, если не ошибаюсь, получается в нано (с учетом $\pi^2\approx 10$).

[EUgeneUS]

DimaM
не в ту сторону перевел из см в мм. Если длины в см, то формула такая:

$L = \frac{(Dn)^2}{45D + 100l}$

[rustot]

Kiev в сообщении #1355143 писал(а):

Под самоиндукцией я имел ввиду собственный поток контура с током, через этот же контур.

Ну значит вы имели в виду что-то, что этим словом не называется. Тогда так и спрашивайте про магнитное поле, а не про индуктивность. А то это какой то сильно кружной и тернистый путь получится - искать поле через индуктивность. Допустим индуктивность может меняться с величиной тока, тогда магнитный поток и ток просто напросто не пропорциональны - производные пропорциональны, а величины нет

Kiev в сообщении #1355143 писал(а):

Не нашёл участка, на котором электрическое вихревое поле ЭДС-самоиндукции совпадает по направлению с током.

Ускорение заряда в ближайшей к нам точке кольца направлено допустим влево, значит сила создаваемого этим ускорением поля на другие ускоряющиеся заряды направлена вправо, но на дальней от нас стороне кольца они как раз и ускоряются вправо и эта сила им помогает.

[Alex-Yu]

EUgeneUS в сообщении #1355158 писал(а):

не в ту сторону перевел из см в мм. Если длины в см, то формула такая:

$L = \frac{(Dn)^2}{45D + 100l}$

Вроде, раньше было в дюймах, формула Уиллера (не того, который был руководителем у Фейнмана, другого Уиллера). Wheeler H. A. Simple inductance formulas for radio coils //Proceedings of the Institute of Radio Engineers. – 1928. – Т. 16. – №. 10. – С. 1398-1400.

Я обычно использую эту формулу в следующем, несколько преобразованном виде:

$$ L=\frac{\mu_0\pi D^2 N^2}{4l} \cdot \frac{1}{1+0.45(D/l)} \, . $$

Впрочем, если учесть, что $\mu_0=4\pi \cdot10^{-7}$ Гн/м а $\pi^2\approx 10$ наверное так и получится.

[EUgeneUS]

Kiev в сообщении #1355143 писал(а):

Под самоиндукцией я имел ввиду собственный поток контура с током, через этот же контур.

Меня гложут смутные сомнения, что то, что Вы на эмоциях назвали "самоиндукцией", является взаимной индуктивностью частей катушки.
И действительно, катушку индуктивности $L$ с количеством витков $n$ можно представить как последовательное соединение, например, двух катушек с индуктивностями $L_1$, $L_2$ и количеством витков $n_1$, $n_2$, $n_1 + n_2 = n$. Тогда индуктивность исходной катушки может быть выражена как:

$L = L_1 + L_2 + 2M$, где $M$ - взаимная индуктивность. Знак плюс в третьем слагаемом выбран, потому что исходная катушка намотана согласовано - все витки в одну сторону.
В свою очередь $M = k \sqrt{L_1 L_2}$, где $k$ - коэффициент связи, $0<k<1$.
В идеальном случае коэффициент связи между частями исходной катушки равен 1. Тогда можно записать так:
$L = L_1 + L_2 + 2\sqrt{L_1 L_2}$, откуда мат. индукцией по количеству витков тривиально выводится зависимость $L = L_0 n^2$, где $L_0$ индуктивность одного витка.
Вот только коэффициент связи в реальном мире не может быть равен 1, потому что в реальном мире одно и тоже место не могут занимать два (или более) разных витка.