Число как сумма ряда или элемент последовательности

[mihaild]

wrest в сообщении #1354496 писал(а):

Конечно, мы использовали при этом определения "натуральное число" и т.п., которые если разворачивать получится много.

Собственно про это есть большая, сложная и интересная наука "Колмогоровская сложность". Про нее есть хорошая книга Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность.

(Оффтоп)

В предисловии которой даже упоминают меня за великое достижение "две поездки в типографию".

Можно ввести понятие "сложности строки" - оно будет определено только с точностью до аддитивной константы (так что говорить "сложность строки $x$ это $13278931$" бессмысленно), но можно следить за тем, как растет сложность строк в некоторой последовательности. В частности, сложность строк вида "числа от $0$ до $n$" растет примерно как $\log n$ (хотяиногда бывает сильно меньше, но не бывает сильно больше, и для большинства примерно такая).

[Student2018]

wrest
Я конечно же имел ввиду не все числа из диапазона разом, а какое-то одно число из всех чисел в заданном диапазоне, ведь ТС вроде бы про это и спрашивал. Поэтому проверять надо так, как предложил mihaild. При чем файлы создавать желательно не текстовые, а числа записывать сразу в двоичном виде, так как текстовая запись сама по себе является избыточной, тем более для записи чисел.

mihaild в сообщении #1354484 писал(а):

Неправда. Существуют способы кодирования, для которых запись некоторых чисел сильно короче десятичной записи, и для всех чисел их запись не сильно длиннее десятичной записи.

Мой комментарий был по поводу способа представления числа, который предложил ТС, когда число кодируется номером в некоторой числовой последовательности, а не по поводу всех способов, которые существуют. Например, в числе $\pi$, начиная с некоторой цифры, можно найти, наверное, почти любую последовательность цифр. Грубо говоря, где-то там, в бесконечности, в нем закодированы все возможные большие и маленькие целые числа. Но номер позиции, с которой начинается некоторое, скажем, нужное нам число, зачастую будет больше самого числа, особенно если это число большое.

[mihaild]

Student2018 в сообщении #1354518 писал(а):

Мой комментарий был по поводу способа представления числа, который предложил ТС, когда число кодируется номером в некоторой числовой последовательности, а не по поводу всех способов, которые существуют

Конкретный способ: сортируем все числа по колмогоровской сложности, а при равенстве - как-нибудь. Тогда номер числа в этой последовательности никогда не бывает сильно больше самого числа, но бывает сильно меньше.

Student2018 в сообщении #1354518 писал(а):

Например, в числе $\pi$, начиная с некоторой цифры, можно найти, наверное, почти любую последовательность цифр

Про "почти любую" нужно уточнять, но на текущий момент не опровергнуто даже что цифра $4$ встречается в записи $\pi$ только конечное число раз.

[Student2018]

mihaild в сообщении #1354530 писал(а):

Конкретный способ: сортируем все числа по колмогоровской сложности, а при равенстве - как-нибудь. Тогда номер числа в этой последовательности никогда не бывает сильно больше самого числа, но бывает сильно меньше.

Ну я не думаю, что ТС имел ввиду что-то в этом роде. Формально, то что вы описали - это конечно последовательность, но по факту это больше походит на алгоритм архивации, т.к. тут и сортировка и много чего еще используется для получения этой последовательности.

mihaild в сообщении #1354530 писал(а):

Про "почти любую" нужно уточнять, но на текущий момент не опровергнуто даже что цифра $4$ встречается в записи $\pi$ только конечное число раз.

То что не опровергнуто, еще не значит что ее там нет. Она там есть, как и другие цифры, и в этом можно легко убедиться. При чем распределены они достаточно равномерно.

[arseniiv]

В тех конечных отрезках, которые проверены. Однако фактически нормальность $\pi$ даже по основанию 10 ещё не доказана.