Интегралы с гиперболическими функциями

[arkansas]

Друзья! Очень нужно взять такой интеграл:

\[ \int_{ - \infty }^\infty {\frac{{\sin \left( {4{\text{arctg }}e^x - ax - \varphi} \right)}} {{\cosh x}}} dx \]

У меня он сводится к двум другим:

\[ \int_{ - \infty }^\infty {\frac{{\sinh x\sin ax}} {{\cosh ^3 x}}} dx \]

и

\[ \int_{ - \infty }^\infty {\frac{{\sinh ^2 x\cos ax}} {{\cosh ^3 x}}} dx \]

С последними трудности. В книжке Заславского сотов. "Слабый хаос и квазирегулярные структуры" дается решение, но оно у меня вызывает сомнения, т.к. не сходится с численным. Вчера смотрел Градштейна с Рыжиком, у них тоже ничего похожего не нашел.

[Someone]

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty}\frac{\sh^2x\cos ax}{\ch^3x}dx=\frac{\pi(1-a^2)}{2\ch\frac{\pi a}2}$$

[arkansas]

Спасибо! Но как? Или ссылочку? А другой берется?

[Someone]

Прошу прощения, вместо "с последними" прочёл "с последним" и решил, что другой интеграл Вы вычислили. Я не знаю, как его вычислять "руками", такой результат даёт Mathematica 5.1.

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sh x\sin ax}{\ch^3x}dx=\frac{\pi a^2}{2\sh\frac{\pi a}2}$$

В предыдущем моём сообщении была опечатка, я её исправил.

[arkansas]

Спасибо еще раз! Но раз это все так просто и автоматизировано, мог бы я еще раз воспользоваться Вашей любезностью для отыскания интеграла

\[ \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\cos ax}} {{{\text{ch}}^3 x}}} dx \]

?

[Someone]

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty}\frac{\cos ax}{\ch^3x}dx=\frac{\pi(1+a^2)}{2\ch\frac{\pi a}2}$$

Установите себе какую-нибудь систему компьютерной математики. Mathematica, Maple, ещё что-нибудь...

[arkansas]

Хвала Вам и Mathematic'e! Я пользовал Mathcad 2001, но такие интегралы он аналитически не считает. В матлабе 7.0 и мэпле 12 тоже пробовал как-то несобственные брать, после чего первый умирал, а второй выдавал исходное условие. А вот Математику еще ни разу не эксплуатировал... Уже скачиваю
Но алгоритм вычисления все-таки интересен...
P.S. Формула Заславского все же оказалась правильной, а вот Mathcad 2001 врет в численном интегрировании подобного рода для аргументов порядка единиц и больше в гармонической функции

[Someone]

Интегралы с буквенными параметрами и Mathematica иногда плохо считает. А некоторые лучше считает Maple. В общем, у всех таких систем есть свои ограничения, достоинства и недостатки.
В данном случае я писал команду в таком виде:

Integrate[Sinh[x]^2 Cos[a x]/Cosh[x]^3,{x,-∞,+∞},Assumptions→a∈Reals]

Результат:

-1/2(-1+a^2)Sech[a π/2]

[Tiger-OZ]

По второму интегралу Градштейн Рыжик 3.985,1,2

Добавлено спустя 53 минуты 1 секунду:

Уверен насчет второго интеграла? У меня получился с подынтегральной функцией

\[ \left( {1 - \frac{2} {{\cosh ^2 x}}} \right)\cos ax \]

А первый возьми по частям, получишь интегралы типа

\[ {\frac{{\cos ax}} {{\cosh ^{2n} x}}} \]

[arkansas]

У меня все-таки получается функция с кубом гипербол. косинуса в знаменателе. Т.е.

\[ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{1 - {\text{sh}}^2 x}} {{{\text{ch}}^3 x}}} \cos ax dx = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{2 - {\text{ch}}^2 x}} {{{\text{ch}}^3 x}}} \cos ax dx \]

А за приведение по частям к табличному спасибо, я тогда уж отчаялся с ними бороться. В этом случае второй (в той форме, как у меня получился) тоже к нему приводится.

[Tiger-OZ]

\[ \begin{gathered} \sin \left( {4\arctan e^x - ax - \varphi } \right) = \sin ... + \cos \left( {4\xi } \right)\left( {\cos ax\cos \varphi - \sin ax\sin \varphi } \right) \hfill \\ \xi = \arctan e^x \hfill \\ \cos \left( {4\xi } \right) = 8\cos ^4 \xi - 8\cos ^2 \xi + 1 = \hfill \\ = 8\frac{{e^{4x} }} {{\left( {1 + e^{2x} } \right)^2 }} - 8\frac{{e^{2x} }} {{\left( {1 + e^{2x} } \right)}} + 1 = \hfill \\ = \frac{{8e^{4x} - 8e^{2x} - 8e^{4x} }} {{\left( {1 + e^{2x} } \right)^2 }} + 1 = 1 - \frac{{8e^{2x} }} {{\left( {1 + e^{2x} } \right)^2 }} = ... \hfill \\ \end{gathered} \]

Проверь, если что не так.

[arkansas]

Всем откликнувшимся большое спасибо!