64я степень

[topSC]

Найти наименьшее $n$ такое, что $1\underbrace{8\dots8}_n=a^{64}.$

[mihaild]

$0$, $a = 1$.
Других нет, т.к. квадраты дают остаток отличный от $8$ по модулю $10$.

[TOTAL]

$1, \, a=\sqrt[64]{18}$

[Dmitriy40]

Ну тогда подходит вообще любое неотрицательное $n$: $a=\pm\lefteqn{\sqrt[64]{\phantom{18\ldots8}}}\phantom{\sqrt[64]{}}1\underbrace{8\ldots8}_{n}$. Хотя наверняка подразумевалось что $a$ тоже должно быть целым. Но наименьшее таки $n=0$.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1353696 писал(а):

Но наименьшее таки $n=0$.

Наименьшего не существут. Например, $n=-2, \, a=\sqrt[64]{881}$
(Очевидно, при отрицательном $n$ восьмерка ставится по левую сторону от единицы.)

[Otta]

(Оффтоп)

А при чисто мнимом начинает выстраиваться по вертикали.

[mihaild]

(Оффтоп)

Тогда еще есть решение при $n = \frac{\sqrt{2}(1 + i)}{2} \cdot k$ с целым $k$: $1^{8^{8}} = 1^{64}$, например.