Из: Понятие группы: нейтральный элемент

[Qlin]

Munin в сообщении #1352461 писал(а):

Ещё небольшой "перевод на русский": в формуле $ea=ae=a$ буква $a$ - переменная, а буква $e$ - константа (некоторый конкретный элемент группы, выбранный один раз и навсегда в этой группе; существует простая теорема, что он такой единственный).

Вы уже определитесь один раз и навсегда: либо у вас есть константа для обозначения единицы в группе, либо вы хотите доказать теорему про единственность единицы.

[Mikhail_K]

Qlin в сообщении #1353602 писал(а):

Вы уже определитесь один раз и навсегда: либо у вас есть константа для обозначения единицы в группе, либо вы хотите доказать теорему про единственность единицы.

Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована. Даже если бы существовали другие единицы, они обозначались бы не $e$, а по-другому. Но легко доказать, что других единиц нет (при этом мы обозначаем произвольную единицу какой-то другой буквой, например $g$, и доказываем, что $g=e$; это и означает, что любая единица равна той самой фиксированной единице $e$, и стало быть единица единственна.)

arseniiv в сообщении #1352501 писал(а):

Формально там и $e$ переменная. Но мы можем дополнить сигнатуру группы константой $e$ и убрать из аксиомы выше внешний квантор.
…не просто так можем, конечно, а после доказательства единственности нейтрального.

Формально может быть и да, но неформально это понимается так, как сказано здесь выше. Строя следствия из второй аксиомы, мы не тащим в каждое из этих следствий квантор $\exists e\in G$, даже ещё когда не доказали единственность единицы. Можно понимать это так, что мы этот квантор подразумеваем, а не пишем только из лени; а можно неформально понимать так, что из всех элементов с тем свойством, о котором говорится во второй аксиоме, мы выбрали один и назвали его $e$. (А уже потом убедились, что других и нет.) Насколько я понимаю, никакой практической разницы тут не будет.

[Qlin]

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):

Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована.

Вы тут пишете какую-то чушь; такую же чушь написал до вас и Munin. Потому что если $e$, как вы утверждаете, есть константа, то нет необходимости постулировать существование объекта, обозначаемого этой константой. Содержательно константа и так всегда интерпретируется в существующий и единственный объект. А формально кванторы не навешиваются по константам.

Munin в сообщении #1352461 писал(а):

Если что, аксиома единицы в группе читается так:
$\exists\,e\in G\colon \Bigl(\forall\,a\in G\colon (ea=ae=a)\Bigr)$

Munin в сообщении #1352461 писал(а):

буква $e$ - константа

Это несёт не больше смысла, чем выражение $\exists 2 \in \mathbb{N} \ (2+2=2\times 2)$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):

Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована. Даже если бы существовали другие единицы, они обозначались бы не $e$, а по-другому.

Так можно делать, но получится, по идее, не обязательно консервативное расширение теории (если нет единственности). На неформальном уровне понятно, что одно дело вводить константу для обозначения единственного объекта, имеющего какое-то свойство, а другое — для какого-то из многих. Все «глобальные» определения, которые где-нибудь делаются, относятся именно к первому случаю, хотя как часть неформального доказательства или вывода натуральной дедукции (заимствующего больше из типичных неформальных доказательств, чем гильбертовский вывод) такие объекты, конечно, попадаются, но там важно, что у них конечная область видимости и в свет они не попадают.

В результате мы не можем, например, дать имя множеству, существование которого в ZF постулирует аксиома бесконечности (вот выделить из всех таких множеств наименьшее и назвать $\omega$.

Другой взгляд на ту же вещь даёт то, что кванторные переменные немые и могут быть переименованы (почти) как угодно, так что они не подходят для имени константы (обычной, «глобальной»).

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):

Насколько я понимаю, никакой практической разницы тут не будет.

Да, кроме локальности времени жизни, если можно так выразиться. Ну в принципе мы можем ввести правило «если мы доказали, что $c$, возникшая снятием $\exists x$, единственна, можно отпустить её на волю», но тут никуда не девается свобода назвать эту $c$ при снятии квантора как душе угодно, а имени $x$ как бы вообще не существует.

Qlin
Давайте вы лучше скажете, чем не устроил мой комментарий к тому посту Munin. А то получается, что вы поднимаете вопрос, который возник в теме вообще случайно. Если все такие вопросы обсуждать столь же тщательно, что и те, которым посвящены темы, форум потонет в оффтопе. Модераторы, конечно, могут всё переносить, но даже если и будут успевать, получаются рваные цепочки сообщений, так что лучше было бы для этого создать отдельную тему, а здесь оставить ссылку, если уж так обязательно надо.

Этот вопрос надо или обсуждать на более высоком уровне, ибо метаматематический, или не обсуждать. В любом случае не в этой теме. То, что обсуждение его остаётся здесь — проявление неидеальности мира, не более. Не надо её усугублять, нам в нём жить.

[Munin]

Qlin в сообщении #1353602 писал(а):

Вы уже определитесь

От вас я советы буду слушать в последнюю очередь.

Похоже, вам неведомо, что за раздел "Помогите решить / разобраться", и каковы на этом форуме правила и традиции поведения в этом разделе.

Qlin в сообщении #1353613 писал(а):

Это несёт не больше смысла, чем выражение $\exists 2 \in \mathbb{N} \ (2+2=2\times 2)$

Между прочим, это выражение несёт смысл, и даже доказывается как теорема.

-- 13.11.2018 00:07:54 --

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):

Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована. Даже если бы существовали другие единицы, они обозначались бы не $e$, а по-другому.

Не совсем так: до теоремы о единственности это всё-таки не константа. И разные единицы обозначаются, типа, $e_1,e_2,$ etc. Но поскольку эта теорема идёт почти сразу после аксиом, можно забыть о моменте шаткой неопределённости, и всю остальную жизнь считать $e$ именем константы.

(Оффтоп)

2,718281828...

[Qlin]

Munin в сообщении #1353652 писал(а):

От вас я советы буду слушать в последнюю очередь.

Ключевое тут — "от нас". Munin не интересуется, что ему было сказано, ему принципиально, кем это сказано. И поскольку совет исходит "от нас", он его слушать не будет.

Munin в сообщении #1353652 писал(а):

Не совсем так: до теоремы о единственности это всё-таки не константа.

Это бредовое суждение. Константы вводятся до каких-либо теорем. На уровне языка.

Munin в сообщении #1353652 писал(а):

Между прочим, это выражение несёт смысл, и даже доказывается как теорема.

Это выражение не только не доказывается, но и вообще не является формулой в языке первого порядка с константой $2$.

arseniiv в сообщении #1353638 писал(а):

Давайте вы лучше скажете, чем не устроил мой комментарий к тому посту Munin.

arseniiv, почему вы так решили? Я не говорил, будто меня не устраивает ваш комментарий. Меня не устраивает исходный комментарий Munin и его дальнейшие попытки выкрутиться.

arseniiv в сообщении #1353638 писал(а):

Этот вопрос надо или обсуждать на более высоком уровне, ибо метаматематический, или не обсуждать.

Этот вопрос языковой. Языки строятся по строгим правилам. Пусть Munin не разбирается в этих правилах и пишет коряво, поправлять его не обязательно. Но проблема в том, что он пытается навязать свои корявые формулировки другим.

[Geen]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1353652 писал(а):

всю остальную жизнь считать $e$ именем константы.

А у нас только одна группа?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1353652 писал(а):

Между прочим, это выражение несёт смысл, и даже доказывается как теорема.

Опять же, смотря какой уровень формализации; в формализованной теории обычно множества переменных, констант, вообще символов алфавита, использующихся разными способами, берут непересекающимися, и $2$ обычно есть смысл включать именно в константы, тогда она не может идти после квантора. То, что запись $\exists 2 \in \mathbb{N} \ (2+2=2\times 2)$ может не видеться такой уж проблемной — одно из проявлений человеческого стремления заполнять пропуски и бросаться в обсуждения с недостаточно определёнными предметами.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):

Munin не интересуется, что ему было сказано, ему принципиально, кем это сказано.

Non sequitur. Ему, как и многим другим, небезразлично, кем говорятся вещи, и не по пустому поводу, но это не значит, что это «небезразлично» — «принципиально», и что он руководствуется только тем, кто говорил, а не что.

И, извините, кто бы говорил. Вы регулярно делаете пока что ошибки разной степени безответственности в разделе ПРР (аксиома бесконечности в другой теме, я всё помню), который предназначен для аккуратной помощи, а не для запутывания. Пока есть столько ошибок и нет их своевременной коррекции, уровень знаний говорящего маловажен. Ну вот о вас и складывается то или иное впечатление. И в ваших же руках его улучшить или ухудшить. Вот меня честно уже бесит, что вы делаете, мне жалко отвлекаемых топикстартеров как минимум.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):

Это бредовое суждение. Константы вводятся до каких-либо теорем. На уровне языка.

Ну вообще не всё так просто. Существует не единственная формализация математики. Некоторые из них распространены из-за удобства рассмотрения полезных вопросов. Однако они не обязательно хорошо описывают все стороны неформальной математики. Например, гуманный подход к математическим текстам. И особенности построения человеческих математических текстов — вообще объект изучения вообще лингвистики, притом такой, что никто им особо не интересуется и профессионально не разбирается, потому ваше мнение как минимум не самое лучшее.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):

arseniiv, почему вы так решили? Я не говорил, будто меня не устраивает ваш комментарий. Меня не устраивает исходный комментарий Munin и его дальнейшие попытки выкрутиться.

Ну так на мой комментарий он ничего не отвечал и прокомментированное не продолжал. До того как мы не продолжили обсуждать эту тему снова после комментария уже вашего — так что на вас, в принципе, часть ответственности за продолжение того, что вам не нравится. Ой-ой.

Хорошо бороться за правое дело, но вот только правость дел, к сожалению, контекстозависима.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):

Этот вопрос языковой. Языки строятся по строгим правилам. Пусть Munin не разбирается в этих правилах и пишет коряво, поправлять его не обязательно. Но проблема в том, что он пытается навязать свои корявые формулировки другим.

Про это я уже выше написал: всё было, по-моему, скорректировано. Если было скорректировано плохо, надо было корректировать уже меня. А так получается, что сначала один человек говорит вообще не про формальную математику, а другой начинает его «поправлять», не учтя нюансы. А потом метаобсуждение поедает основную тему. И зачем, спрашивается?

Дополнение:

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1353662 писал(а):

А у нас только одна группа?

Это, кстати, откроет ещё одну банку червяков. Когда у нас теория состоит просто из трёх аксиом группы (и тогда имя группы там не упоминается никак), она и говорит только об элементах одной этой группы, точнее об элементах вообще любой группы. Можно до некоторой степени конкретизировать ситуацию, даже доходя до описания только одной какой-то группы (с точностью до изоморфизма, конечно), но, например, периодичность группы нельзя выразить никаким множеством аксиом (это была бы бесконечная «аксиома» $\forall x.\, x = e\vee xx = e\vee xxx = e\vee\ldots$, но бесконечные формулы запрещены).

Когда же мы используем аксиомы группы обычным образом — там упоминается её носитель и всё понимается в контексте теории множеств или чего-то такого, и эти аксиомы не являются собственно аксиомами этой теории-основания, это просто такое в некотором роде переносное значение слова. Мы можем с помощью них определить множество всех групп или там категорию или предикат «это группа» и пойти заниматься содержательными вопросами, уже не поминая этих («)аксиом(») никогда.

И вот зачем тут начали обсуждать первое вместо второго, вообще загадка.

[Pphantom]

Выделено из «Понятие группы: нейтральный элемент»

-- 13.11.2018, 01:41 --

Qlin - захват темы, малограмотные комментарии в ПРР. Поскольку не в первый раз, пара недель отдыха будут в самый раз.

[vpb]

Qlin
Между прочим, среди ЗУ, насколько я знаю, далеко не один профессор и доктор наук, а уж доцентов с кандидатами --- как собак нерезаных. То, что они тут помогают порой не очень умным студентам --- это с их стороны гуманное волонтерство, хотя бы за это их уважать надо. А теперь представьте: Вы в университете заходите на кафедру, или хлеще того на заседание Ученого совета, и заявляете "все вы тут чушь несете". Реакция и последствия, сами понимаете какие. Короче, Вы при Вашем дерзком поведении, думается, в одном шаге от отчисления с форума. (И на всякий случай: если сейчас по неведению заведете клона, Вас тут же забанят навечно, см. правила форума).

[Munin]

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):

Munin не интересуется, что ему было сказано, ему принципиально, кем это сказано.

Ну почему, интересуюсь. И если вижу дельный совет, стараюсь ему следовать, от кого бы он ни исходил. Семантика фразы скорей другая: вам самому стоило бы обратить внимание на статистику дельных советов, от вас исходящих.

Geen в сообщении #1353662 писал(а):

А у нас только одна группа?

Подловили! :-)

А я снова выкручусь! Да, $e$ - константа! Константа, понимаемая как 0-местная операция, определённая сразу на всех группах. То есть, функция на множестве групп, которая на конкретной группе даёт эту 0-местную операцию. Функция же может быть константой? :-)

И строго по этому, единицы разных групп вполне принято обозначать $e_G, e_H,$ и т. д.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1353663 писал(а):

периодичность группы нельзя выразить никаким множеством аксиом (это была бы бесконечная «аксиома» $\forall x.\, x = e\vee xx = e\vee xxx = e\vee\ldots$, но бесконечные формулы запрещены).

Не понимаю, почему нельзя $\forall\,x\in G\quad\exists\,n\in\mathbb{N}\colon\quad x^n=e.$
(Если что, я не знаю, языком какого порядка пользуюсь, но и не помню, чтобы обещал всегда пользоваться языком первого порядка or whatever.)

[mihaild]

Munin в сообщении #1353674 писал(а):

Константа, понимаемая как 0-местная операция, определённая сразу на всех группах. То есть, функция на множестве групп, которая на конкретной группе даёт эту 0-местную операцию.

Так 0-местная, или одноместная (берет группу и выдает элемент группы)? А множества всех групп нет...

Munin в сообщении #1353674 писал(а):

Не понимаю, почему нельзя $\forall\,x\in G\quad\exists\,n\in\mathbb{N}\colon\quad x^n=e.$

Эта формула не в сигнатуре $(\cdot, =)$. Теория групп - это теория первого порядка в этой сигнатуре с тремя аксиомами. Ее можно консервативно расширить добавлением константного символа $e$ (или нульместной функции; можно вообще в исчислении предикатов вместо константных символов всегда использовать функции нуля аргументов).
Понятно как сделать теорию абелевых групп - добавить аксиому $\forall x, y: x + y = y + x$. Или как сделать теорию групп без кручения: для каждого $n$ добавить аксиому $\forall x: x \cdot x \cdot \ldots \cdot x = e \rightarrow x = e$.
А вот добавить аксиомы в той же сигнатуре так, чтобы моделями новой теории были только периодические группы - невозможно.
Вашу формулу можно строго расписать в какой-нибудь ZF - и там да, выразимо утверждение "данное можество является группой кручения".