Четырёхугольник в окружности

[Vinni-puh]

Помогите пожалуйста решить:

Доказать, что в четырехугольнике ABCD, вписанном в круг, выполняется равенство Sin A/Sin B=(a*d+b*c)/(a*b+c*d), где АВ=а,AD=b,CD=c,CB=d. .

[Trius]

Задачка с заочного тура олимпиады Киевского мехмата:)

[Azog]

Это не теорема Птолемея случаем?

[arqady]

Vinni-puh писал(а):

Помогите пожалуйста решить:

Доказать, что в четырехугольнике ABCD, вписанном в круг, выполняется равенство Sin A/Sin B=(a*d+b*c)/(a*b+c*d), где АВ=а,AD=b,CD=c,CB=d. .

Эту задачу я давал несколько лет назад на контрольной работе в 11-ом классе.
Приравнивая с помощью теоремы косинусов

$$BD^2$$

для

$$\Delta ABD$$

и

$$\Delta CBD$$

получим

$$\cos A=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$

Аналогично получим

$$\cos B=\frac{a^2+d^2-c^2-b^2}{2(ad+cb)}.$$

Поскольку синус угла четырёхугольника положителен и поскольку

$$4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2,$$

получаем требуемое.
Но проще выразить площадь данного четырёх-угольника двумя способами.
Большинство решало первым способом!

[Vinni-puh]

Большое спасибо за подсказку

[Trius]

Я тоже делал первым способом вначале

[leon4ic]

Имеем: (ad+bc)=2Sabc/sinB + 2Sadc/sinB=2/sinB(Sabc + Sadc)=2Sabcd/sinB; sinB=2Sabcd/(ad+bc); (1)
(ab+cd)=2Sbad/sinA+2Sbcd/sinA=2/sinA(Sbad + Sbcd)=2Sabcd/sinA;
sinA=2Sabcd/(ab+cd); (2)
(1)/(2): sinA/sinB=(ad+bc)/(ab+cd),ч.т.д.