Я нашёл ошибку в Википедии? Матрица поворота

[SpiderHulk]

В статье Матрица поворота утверждается, что координаты $(x', y')$ в результате поворота точки (правосторонняя система координат и положительное направление вращения против часовой стрелки) $(x, y)$ имеют вид:
$x'=x \cos\theta - y \sin\theta$
$x'=x \sin\theta + y \cos\theta$

И это неверно, в задаче 4.25 пункт 2) из сборника задач Беклемишевой судя по ответу необходимо применить иные формулы:
$x'=x \cos\theta + y \sin\theta$
$x'=x \sin\theta - y \cos\theta$

Я поставил эксперимент, чтобы выяснить кто прав. Начертил правостороннюю систему координат и точку с координатами (2; 3), начертил новую систему с тем же центром, повёрнутую относительно исходной на 30 градусов против часовой стрелки, опустил из точки перпендикуляры на новые оси и измерил длины отрезков на новых осях. Координаты точки в новой системе координат оказались равны (1,6; 3,2) и это соответствует результатам применения формул из задачи 4.25 $(\sqrt{3} + \frac{3}{2}; -1 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ и не соответствует результатам применения формул из статьи в Википедии $(-\frac{3}{2} + \sqrt{3}; 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

[wrest]

SpiderHulk в сообщении #1352816 писал(а):

в результате поворота точки

SpiderHulk в сообщении #1352816 писал(а):

начертил новую систему с тем же центром, повёрнутую

Ну так вы что повернули-то -- точку или систему координат?

[Munin]

Обычно у студентов бывает путаница между матрицами

$$\begin{pmatrix}\hphantom{-}\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\qquad\textit{и}\qquad\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \hphantom{-}\cos\theta\end{pmatrix}.$$

Связано это с разными "взглядами":

"пассивный взгляд":

пространство считается неподвижным, в нём сменяется базис, и матрица служит преобразованием координат векторов в старом базисе - в координаты в новом базисе;
"активный взгляд":

векторы базиса считаются неподвижным, а всё остальное пространство (его точки) - движущимся, и матрица служит преобразованием координат старых векторов - в координаты новых векторов в том же базисе.

На более строгом языке, "активный взгляд" называется линейным преобразованием пространства (в частности, поворотом), и выражается матрицей преобразования (например, матрицей поворота); а "пассивный взгляд" - заменой базиса, и выражается матрицей перехода к новому базису.

Всё дело в том, что для этих случаев используются обратные друг другу матрицы: $C=T^{-1}.$ Из-за этого и возникает путаница. Особенно в случае поворотов, когда матрицы так похожи. Но надо понимать разницу между этими двумя случаями. Кроме того, это сущностно разные вещи. Например, "активные преобразования" могут быть вырожденными, и выражаться вырожденными матрицами, а "пассивные" - не могут. Более того, "активные преобразования" вообще могут происходить между разными пространствами (исходным и целевым), разной размерности, разной структуры. Тогда они выражаются матрицами не квадратными, а прямоугольными. (Даже если в матрице равное число строк и столбцов, но множества индексов строк и столбцов - разные множества, по сути это прямоугольная матрица.)

[SpiderHulk]

wrest в сообщении #1352818 писал(а):

Ну так вы что повернули-то -- точку или систему координат?

Выходит, применяя формулы из Википедии я решаю задачу: найти координаты точки в первом базисe (x, y) если известны её координаты во втором базисе (x', y'), тогда всё верно

[Mikhail_K]

SpiderHulk в сообщении #1352833 писал(а):

Выходит, применяя формулы из Википедии я решаю задачу: найти координаты точки в первом базисe (x, y) если известны её координаты во втором базисе (x', y'), тогда всё верно

В формулах из Википедии вообще нет двух базисов. Есть один базис, и есть отображение, переводящее каждую точку в другую точку.
Хотя та задача, которую Вы здесь сформулировали, будет иметь тот же самый ответ, но по сути это другая задача.

[Munin]

SpiderHulk в сообщении #1352833 писал(а):

Выходит, применяя формулы из Википедии я решаю задачу: найти координаты точки в первом базисe (x, y) если известны её координаты во втором базисе (x', y'), тогда всё верно

Нет.

(Конечно, можно решить и эту задачу формулой из Википедии, но это применение инструмента не по назначению.)

В процитированной вами статье Википедии задача другая. Начертите правостороннюю систему координат на листе прозрачной кальки поверх листа бумаги. После этого, отметьте точку $(2;3)$ на листе бумаги. После этого, поверните лист бумаги под калькой на $30^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $O.$ И теперь, подумайте, каковы новые координаты точки в старой системе координат.

[SpiderHulk]

[Munin]

Да.

[Aritaborian]

Безотносительно к тому, нашли ли вы на самом деле ошибку в Вике или заблуждаетесь. Одним из основополагающих принципов Википедии является принцип «Правьте смело». Вы имеете полное право вносить правку в любую статью на любом языке и не париться, фигню ли написали. Лишь бы делали это добросовестно, а не хулиганили.

[Munin]

Ну, в данном случае лучше не править. Потом придётся откатывать. Эта статья в Википедии написана плохо (и "Матрица перехода" тоже), но без ошибок (по крайней мере, на первый взгляд), и правку их лучше оставить кому попрофессиональнее.