Асимптотическое обращение преобразования Лапласа

[Ms-dos4]

Здравствуйте товарищи, снова понадобилась помощь математиков.
Собственно в результате рассмотрения физической задачи, мы пришли к уравнению вольтерра 2-го рода типа восстановления, и применением преобразования Лапласа изображение решения имеет следующий вид

$$\hat f(\lambda ) = {{(1 - \beta ){{1 - \hat \varphi (\lambda )} \over \lambda }} \over {1 - (1 - \beta )\hat \varphi (\lambda )}}$$

где ${\hat \varphi (\lambda )}$ - некоторая функция. Суть же проблемы в том, что известная лишь асимптотика $\varphi (t)$ на бесконечности по времени (т.е. для изображения - в нуле). Можно ли получить асимптотику решения в таком случае? Я кратко опишу суть проблемы на простом примере. Допустим, $\varphi (t) = \mu {e^{ - \mu t}}$. В этом случае $\hat \varphi (\lambda ) = {\mu \over {\lambda + \mu }}$ и

$$\hat f(\lambda ) = {{1 - \beta } \over {\lambda + \beta \mu }} \Rightarrow f(t) = (1 - \beta ){e^{ - \mu \beta t}}$$

Однако, если мы представим, что знаем только асимптотическое поведение этой функции $\hat \varphi (\lambda ) = {\mu \over {\lambda + \mu }} \approx 1 - {\mu ^{ - 1}}\lambda + ...$ мы получим

$$\hat f(\lambda ) = {{1 - \beta } \over {(1 - \beta )\lambda + \beta \mu }} \Rightarrow f(t) = {e^{ - {{\mu \beta } \over {1 - \beta }}t}}$$

что не является даже асимптотическим решением, ввиду другого показателя экспоненты. Использование дальнейших членов разложения ситуацию не лечит. Собственно я к чему, если ли какие то методы, которые позволят получить асиптотику $f(t)$ по асимптотике $\varphi (t)$
P.S. Если с уравнением восстановления иметь дело проще непосредственно, выпишу его

[DeBill]

Ms-dos4
Мне что то кажется, что асимптотики тут не хватит - что и показывет Ваш пример.
Фишка, как я понимаю, тут такая: если фи (да и эф) убывает экспоненциально - то показатель экспоненты дает полюс у изображения. Значит, нам нужна точка, зануляющая знаменатель у эф с крышкой. И фиг мы её найдем, зная лишь, в какой точке у фи - полюс....

[DeBill]

Ms-dos4
Видимо, ожидание того, что знание асимптотики для фи дает асимптотику для эф, связано с тем, что для степенного роста фи это верно. Однако, для экспоненциально убывающей фи это не так. Если, например, фи есть сумма кучи экспонент, то для эф с крышкой, ВСЕ они (а не только "главная") дают вклад в асимптотику эф с крышкой....

[Ms-dos4]

DeBill
Да, видимо всё так. Спасибо!
P.S.Интересно, что можно сказать про функции, убывающие быстрее экспоненты?