Задача на определение координат

[Rasmussen]

Всем привет!
Имеется интересная задача родом из радионавигации (разностно-дальномерный способ определения координат).

Задано три точки A(0,0), B(-100,0) и C(0,100). Искомую точку обозначим M(x,y). Известны две разности расстояний:
$\Delta R_{AB} = -72.06 $
$\Delta R_{BC} = -56.62$
Необходимо определить координаты точки M.

Я составил уранения:
$ R_A - R_B = \sqrt{(x_a - x)^2 + (y_a - y)^2} - \sqrt{(x_b - x)^2 + (y_b - y)^2}; $
$ R_B - R_C = \sqrt{(x_b - x)^2 + (y_b - y)^2} - \sqrt{(x_c - x)^2 + (y_c - y)^2} ,$
однако не могу сообразить, как из этих уравнений найти координаты (пусть и приближенно).

Можно вспомнить про свойство гиперболы и решить задачу "графически":
$\Delta r = \sqrt{(x+d)^2 + y^2} - \sqrt{(x - d)^2 + y^2}, $
(d -- расстояние между фокусами), однако в этом случае для гиперболы с фокусами в точках B и C необходимо сдвигать и поворачивать систему координат, что в этом случае видится каким-то излишеством и "поворотом не туда".

Буду рад любым идеям, спасибо за внимание.

[bitcoin]

$\Delta R_{AB} =MA-MB$?

[Pphantom]

Решение должно быть аналитическим? Если нет - метод Ньютона, может быть, с предварительной грубой оценкой начального приближения.

[DeBill]

Rasmussen
Вообще, пара гипербол (обе ветви смотрим) пересекаются по 4 точкам. Это значит, надо решать уравнение 4-й степени, что не есть хорошо. Но Ваши точки - хорошИ!
1. Лучше работать с парами $AB$ и $AC$
2. Для каждого из двух уравнений: один корень оставим слева, второй (тот, что для А) - перекинем направо.
Возводим в квадрат. Оставшийся корень оставим справа, все остальное - налево.
3. Поделим одно полученное ур-е на другое - и получим линейную связь между $x$ и $y$. Выразим отсюда $y$ через $x$
4. Подставим полученное в первое (для АВ) из двух полученных. Возводим в квадрат - и будет квадратное уравнение для $x$!
5. Решив его, из линейного соотношения найдем $y$...

И вот - вопросы по этой программе: А почему - получилось? А всегда ли (или, наоборот - никогда?) будет 2 решения?

[B@R5uk]

Я эту задачу в трёхмерном пространстве решал. Типа определение пространственных координат источника звука с помощью четырёх микрофонов. Там вполне себе красивые аналитические формулы получались. Думаю, в двумерии будет ещё проще.

-- 05.11.2018, 23:50 --

Я немного запамятовал "красоту" получившихся у меня формул. Вот так это дело выглядит на самом деле. В прочем, не так уж и страшно. В двумерии можно даже обойтись без матриц. Но без постановок и замен решение будет слишком громоздким. Без матриц не обойтись, будет слишком громоздко.

-- 05.11.2018, 23:54 --

Rasmussen, проблема вашего подхода к решению задачи в первую очередь в том, что вы взялись за радикалы сходу, в то время как их лучше отложить до самого последнего шага решения задачи (до предпоследнего, если быть совсем пунктуальным). Лучше работать со всякими квадратами и перекрёстными произведениями, но главное, чётко помните, что у вас является искомыми переменными, а что — известными параметрами.

[StaticZero]

У меня уравнения такие: пусть $R_1 = |AM| - |CM| = r_M - |\mathbf r_M - \mathbf r_C|$, $R_2 = |AM| - |BM| = r_M - |\mathbf r_M - \mathbf r_B|$,

$$ \begin{cases} (r_M - R_1)^2 = r^2_M + R^2_1 - 2 r_M R_1 = r^2_M + r^2_C - 2 (\mathbf r_M \cdot \mathbf r_C) \\ (r_M - R_2)^2 = r^2_M + R^2_2 - 2 r_M R_2 = r^2_M + r^2_B - 2 (\mathbf r_M \cdot \mathbf r_B) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} R^2_1 - 2 r_M R_1 = r^2_C - 2 (\mathbf r_M \cdot \mathbf r_C) \\ R^2_2 - 2 r_M R_2 = r^2_B - 2 (\mathbf r_M \cdot \mathbf r_B) \end{cases} $$

Если $\mathbf r_C$ и $\mathbf r_B$ образуют ортогональный базис и $r_B = r_C$, как тут, то действительно, получим

$$ \begin{cases} R^2_1 - 2 \sqrt{x^2 + y^2} R_1 = r^2_C - 2 r_C x \\ R^2_2 - 2 \sqrt{x^2 + y^2} R_2 = r^2_C - 2 r_C y \end{cases} $$

[DeBill]

StaticZero
Ну, я про это и писал: из выписанных Вами последних уравнений можно найти линейное соотношение меж $x$ и $y$. Далее- легко.
А в трехмерии - будет громоздко, да...

[DeBill]

А, впрочем, и в многомерном случае тоже все неплохо (при условии, что одна точка - в начале координат, о остальные - по одной на осях, и разности расстояний считаются от центральной до прочих): те же формулы, что у StaticZero позволят найти линейные соотношения между всеми координатами, и все сведется к квадратному уравнению...

[wrest]

То есть, в 2D случае ищем пресечение двух гипербол (двух конкретных ветвей по одной от каждой), а в 3D случае трёх гиперболоидов.
Называется "hyperbolic navigation" или "multilateration"
Случай трех станций (т.е. 2D) разобран например тут:
Simple Solutions for Hyperbolic and Related Position Fixes, Bertrand T. Fang, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, September 1990, pp 748-753
Ссылка на текст: http://jmargolin.com/sense/refs/ref26_fang.pdf

Да, сводится к квадратному уравнению.

Конкретно для ваших данных, кажись, решение не существует: