Максимальное значение отношения интегралов

[umarus]

Добрый день. Пожалуйста, помогите разобраться:
Пусть функция $f(x)$ является вещественной дифференцируемой на $[0;1]$, а также $\[\int\limits_{1/3}^{2/3} {f(x)dx} = 0\]$. Найти минимальное значение $\[\frac{{\int\limits_0^1 {f'{{(x)}^2}dx} }}{{{{\left( {\int\limits_0^1 {f(x)dx} } \right)}^2}}}\]$.

Не могу найти подход.
Как работать с числителем? может это обьем.
Как использовать данное уравнение? Означает ли оно что функция проходит через х-ось?

Спасимо всем заранее.

[Ioda]

umarus в сообщении #1351879 писал(а):

Означает ли оно что функция проходит через х-ось?

Оно может означать еще ,что площадь под графиком функции на отрезке $[\frac{1}{3};\frac{2}{3}]$ равна площади над графиком функции на этом же отрезке ,а это может значить ,что функция имеет значение $0$ в какой-то точке (то что вы имели ввиду) или на каких-нибудь промежутках данного отрезка. Больше не могу сказать.

umarus в сообщении #1351879 писал(а):

может это обьем.

С объемом в плоскости ,обычно, не работают.

[Lia]

umarus в сообщении #1351879 писал(а):

Максимальное значение отношения интегралов

umarus в сообщении #1351879 писал(а):

Найти минимальное значение

Так максимальное или минимальное?

[DeBill]

umarus
Видимо, проще всего будет делать так: заметим, что при умножении на константу, Ваш функционал (и ограничение) не меняются. Поэтому, можно считать, что знаменатель равен 1, и искать минимум числителя (но уже при двух ограничениях).
Но это - совершенно стандартная задача вариационного исчисления, и решайте ее так, как Вас учили ...

(Оффтоп)

Интеграл по серединке отрезка можно понимать как интеграл по всему отрезку от функции, умноженной на характеристическую функцию серединки отрезка. Дифур с кусочно-заданной правой части решайте по тупому - на каждой из трех половинок . Не забудьте для кусочно-заданной функции - решения выписать условия непрерывности и дифференцируемости в точках "излома". Не потеряйте граничные условия в точках 0 и 1. И будет Вам щасте в виде системы из 6 уравнений с 6 неизвестными. [off]Решив ее, вы сможете посчитать ответ который равен, если я не ошибся, 81

[/off]

[umarus]

Lia в сообщении #1351974 писал(а):

umarus в сообщении #1351879 писал(а):

Максимальное значение отношения интегралов

umarus в сообщении #1351879 писал(а):

Найти минимальное значение

Так максимальное или минимальное?

Извиняюсь
Все таки минимальное

-- Пн ноя 05, 2018 22:40:02 --

DeBill в сообщении #1351987 писал(а):

umarus
Видимо, проще всего будет делать так: заметим, что при умножении на константу, Ваш функционал (и ограничение) не меняются. Поэтому, можно считать, что знаменатель равен 1, и искать минимум числителя (но уже при двух ограничениях).
Но это - совершенно стандартная задача вариационного исчисления, и решайте ее так, как Вас учили ...

(Оффтоп)

Интеграл по серединке отрезка можно понимать как интеграл по всему отрезку от функции, умноженной на характеристическую функцию серединки отрезка. Дифур с кусочно-заданной правой части решайте по тупому - на каждой из трех половинок . Не забудьте для кусочно-заданной функции - решения выписать условия непрерывности и дифференцируемости в точках "излома". Не потеряйте граничные условия в точках 0 и 1. И будет Вам щасте в виде системы из 6 уравнений с 6 неизвестными. [off]Решив ее, вы сможете посчитать ответ который равен, если я не ошибся, 81

[/off]

Спасибо вам большое.
Дело в том что задучу принес школьник, а я не знаю какой раздел математики нужен для решения. Можете подсказать, какую именно тему нужно изучить?

[StaticZero]

Рассмотрите последовательность функций

$$ f_n = \begin{cases} \left(\frac{1}{3} - x \right)^n, &0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{3} \\ 0, &\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2}{3} \\ \left(x - \frac{2}{3}\right)^n, &\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant 1 \end{cases} $$

Они, вроде как, удовлетворяют условиям задачи.

Нет, фигня. Не получается того, что хотелось бы показать.

[DeBill]

umarus
Ой-ей-ей, для школьника эта задача будет неподъемной...
Конечно, можно явно сосчитать-найти экстремальную функцию (по плану, который я рекомендовал), а потом из простых соображений показать, что она - наилучшая. Но эта ф-я довольно сложная, и такой способ будет несколько нечестным...

(Оффтоп)

Функция у меня получилась такая: она равна $2-\frac{27}{2}x^2$ на участке $[0,\frac{1}{3}]$, равна $2-\frac{27}{2}(x-1)^2$ на $[\frac{2}{3},1]$, и равна $27x^2-27x+\frac{13}{2}$ на серединке - попробуй её угадай...

umarus в сообщении #1351990 писал(а):

какую именно тему нужно изучить?

Тема - вариационное исчисление (иногда ее проходят на 4 курсе, кое-где - раньше, а физики - и того раньше).
Можно ли сделать задачу без использования высоких материй? Это - Вопрос! Видимо, можно. Что-нибудь, типа: можно считать ф-ю симметричной относительно серединки (это тоже надо обосновывать). Ну, и, выражая функция интегралом от производной, оценивать интегралы от функции по Коши-Буняковскому.. Вобщем - сложно, так, навскидку, разумного решения не предложу...

[mserg]

При решении аналитически, да, у школьника будут некоторые проблемы ...

В принципе, задачу можно решить численно, положив знаменатель равным, скажем 1. Это выпуклая задача, вероятно решается с помощью "Поиск решения" в Excel.
Должно получиться что-то вроде этого