Система ДУ первого порядка

[tpm01]

Здравствуйте, есть такое задание, система ДУ:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&x\cdot \cos(t)^2+y\cdot (\sin(t)\cdot \cos(t)-1) \\ \dot{y}&=&x \cdot (\sin(t)\cdot \cos(t)+1)+y\cdot \sin(t)^2\\ \end{array} \right.$
имеет решение:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-\sin(t) \\ y&=&\cos(t) \\ \end{array} \right.$
найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям $x(0)=y(0)=1$. В ответе укажите значение $x^2+y^2$ при $t=\ln2$.
Решаю по этому примеру (пример 3, адрес с русским названием, наверно поэтому тег url не работает):
http://www.math24.ru/линейные-системы-дифференциальных-уравнений-с-переменными-коэффициентами.html
Ход решения:
Первое решение:
$X_1(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\ y_1(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\sin(t)\\ \cos(t) \end{pmatrix}$
Пусть второе линейно-независимое решение выражается векторной функцией:
$X_2(t)=\begin{pmatrix} x_2(t)\\ y_2(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$
с начальным условием:
$\\ u(t=0)=1\\ v(t=0)=1$
Воспользуемся формулой Лиувилля-Остроградского
$W(t)=\begin{bmatrix} -\sin(t) & u \\ \cos(t) & v \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\sin(t) & 1 \\ \cos(t) & 1 \\ \end{bmatrix}\cdot e^{\int\limits_{0}^{t}\operatorname{tr}(A(\tau))d\tau}$

$A(t)=\begin{pmatrix} \cos(t)^2 & \sin(t) \cdot \cos(t)-1\\ \sin(t) \cdot \cos(t)+1 & \sin(t)^2\\ \end{pmatrix}$

$\operatorname{tr}(A(t))=\cos(t)^2+\sin(t)^2=1$

-- Вс ноя 04, 2018 22:52:12 --

$W(t)=\left\lvert \begin{pmatrix} -\sin(t) & u\\ \cos(t) & v \\ \end{pmatrix} \right\rvert=-u\cdot \cos(t)-v\cdot \sin(t)=\left\lvert \begin{pmatrix} -\sin(t) & 1\\ \cos(t) & 1 \\ \end{pmatrix} \right\rvert\cdot e^{\int\limits_{t_0}^{t}1\cdot d \tau}=(-\cos(t)-\sin(t))\cdot e^{t-t_0}$

где $t_0=0$

$-u \cdot \cos(t)-v\cdot \sin(t)=(-\cos(t)-\sin(t))\cdot e^t$

отсюда
$u=e^t \cdot (1+\tg(t))-v\cdot \tg(t)$

рассмотрим второе уравнение исходной системы подставив туда последнее выражение:
$dv/dt=(e^t (1+\tg(t))-v \tg(t))\cdot (\sin(t)\cdot \cos(t)+1)+v\cdot \sin(t)^2$

И вот тут я остановилась, и так и сяк пыталась решить - не получается, вернее, в итоге получается выражение с интегралом результат которого выражение с гипергеометрическим функциями, чего там, по идее, быть не должно. В итоге я проверила это выражение в Вольфрамальфа, туда и последнее ДУ подставляла и исходную систему и одно и то же получается выражение в гипергеометрических функциях.
Вопрос:
так и должно быть или это я что-то не так делаю, сама склоняюсь больше к первому, потому что решала разными способами и одно и то же получается...

[DeBill]

tpm01
А что же Вы остановились? Не упростили: ведь приличный дифур получился - линейный неоднородный, и метод вариации постоянной должОн сработать. Правда, там интеграл в конце вылезет не очень красивый - с тригонометрией и экспонентой. Такие интегралы (иногда) считаются двойным интегрированием по частям. Попробуйте - может, получится...

(Оффтоп)

А если не получится - то можно взять быка прямо за рога: что надо для ответа? Сумма квадратов? Вот прямо ее и ищите - для её производной получается - из вашего дифура и уже найденного соотношения - явное выражение! При этом - странно, но, вроде, так: вычислив сумму квадратов, из того соотношения получите квадратное уравнение, решив которое, найдете таки решение. И переплюнете Вольфрама!

[tpm01]

Если решать последнее ДУ получается следующее (после преобразований):

$dv/dt=v\cdot \tg(t)=\frac{3}{2}e^t+\frac{1}{2}e^t \sin(2t)-\frac{1}{2}e^t \cos(2t)+e^t \tg(t)$

Пробую решить с помощью интегрирующего множителя:

$dv/dt+v\cdot a(t)=f(t) $

Нахожу интегрирующий множитель:

$\varphi (t)=\exp(\int\limits_{}^{}a(t)dt)=\exp(\int\limits_{}^{}\tg(t)dt)=\frac{1}{\cos(t)}$

Общее решение ДУ выражается в виде:
$\frac{\int\limits_{}^{}\varphi (t)\cdot f(t)dt+C}{\varphi (t)}$

Ищу интеграл выражения $\varphi (t) \cdot f(t)=\frac{3}{2}\frac{e^t}{\cos(t)}+\frac{1}{2}\frac{e^t \sin(2t)}{\cos(t)}-\frac{1}{2}\frac{e^t \cos(2t)}{\cos(t)}+\frac{e^t \tg(t)}{\cos(t)}$

Если проинтегрировать это выражение, то уже интеграл первого слагаемого через эти гипергеометрические функции находится, так не могу взять, вот через Вольфрам попробовала взять.

Не поняла, как через сумму квадратов. Продифференцировала ее, последнее ДУ подставляла, ничего не получилось или неправильно поняла...

[DeBill]

tpm01 в сообщении #1351851 писал(а):

Продифференцировала ее,

И что получилось?

-- 05.11.2018, 14:52 --

(Оффтоп)

У меня получилось $2(u\cos t +v\sin t)^2$...

[tpm01]

Что-то не пойму, что дальше делать или делаю что-то не то:

$\frac{d}{dt}(u^2+v^2)=2u\frac{du}{dt}+2v\frac{dv}{dt}$

если в него подставлять последнее уравнение $dv/dt=(e^t (1+\tg(t))-v \tg(t))\cdot (\sin(t)\cdot \cos(t)+1)+v\cdot \sin(t)^2$, то получается длинная формула, в которую входят $u$, $\frac{du}{dt}$ и $v$. Формула очень длинная, поэтому не привожу.
Выражение $u=e^t(1+\tg(t))-v \tg(t)$ тоже подставляла и тоже не получается.

Такого $2(u\cos t +v\sin t)^2$ там нет...

[DeBill]

tpm01 в сообщении #1351881 писал(а):

в него подставлять

надо исходное уравнение: ведь $u,v$ -его решения...

[tpm01]

DeBill, огромное Вам спасибо! Все получилось.