Решение диф. уравнения в виде разложения в интеграл

[edge]

Здравствуйте! Хотелось проконсультироваться по поводу дифференциального уравнения.
Дано уравнение:
$\varphi''=-\frac{2m}{h^2}E\varphi$ (1) //внесены исправления в уравнение
где $E=\frac{\pi^2h^2}{2ma^2}$
решением уравнения является:
$\varphi=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pi}{a}x)$
если эту функцию разложить в интеграл Фурье
$\varphi=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pi}{a}x)=\int\limits_{}^{}\alpha(p)e^{\frac{ipx}{h}}dp$
где коэффициент разложения при $x\in[0,a]$:
$a(p)=\sqrt{\frac{2}{a}}\int\limits_{0}^{a}\sin(\frac{\pi}{a}x)e^{\frac{-ipx}{h}}dx$
то будет ли функция в виде интеграла Фурье решением того же уравнения (1) и можно это как-то проверить? Потому как коэффициент разложения не зависит от x, его, вроде как, не продифференцируешь...

[Lia]

edge в сообщении #1351667 писал(а):

решением уравнения является:

Не является. Или коэффициенты меняйте, или решение.

edge в сообщении #1351667 писал(а):

то будет ли функция в виде интеграла Фурье решением того же уравнения (1) и можно это как-то проверить?

А какая разница, в каком виде записана функция? Лишь бы при преобразовании не ошиблись.

[thething]

Если я правильно понял, то вопрос состоит в том, будет ли коэффициент (то ли $\alpha альфа$, то ли $a$) решением того же дифференциального уравнения, что и исходная функция. Ну так это легко проверить подстановкой в уравнение. Только производную надо брать по соответствующей переменной.

[Lia]

Нет, вопрос:

edge в сообщении #1351667 писал(а):

если эту функцию разложить в интеграл Фурье
$\varphi=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pi}{a}x)=\int\limits_{}^{}\alpha(p)e^{\frac{ipx}{h}}dp$

edge в сообщении #1351667 писал(а):

то будет ли функция в виде интеграла Фурье решением

(выделение мое).
Коэффициент честно называется коэффициентом.

Ну, впрочем, я не ТС. Я просто читаю буквально то, что написано.

[thething]

))А я вот отсюда телепатил)

edge в сообщении #1351667 писал(а):

Потому как коэффициент разложения не зависит от x, его, вроде как, не продифференцируешь...

Типа это он и хочет в уравнение подставлять.
edge
Пояснения в студию.

[edge]

Lia в сообщении #1351669 писал(а):

Не является. Или коэффициенты меняйте, или решение.

Lia, спасибо за ответ.
квадрат у меня потерялся в уравнении и минус:
$\varphi''=-\frac{2m}{h^2}E\varphi$ (1)
где $E=\frac{\pi^2h^2}{2ma^2}$
в таком случае будет решением?
$\varphi=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pi}{a}x)$

и если полученный интеграл Фурье тоже является решением уравнения (1) это математически как-то отразить возможно? а то вторая производная получается берется только от экспоненты, а от коэффициента разложения Фурье не берется...

[Lia]

edge в сообщении #1351675 писал(а):

и если полученный интеграл Фурье тоже является решением уравнения (1)

А куда он денется, если он совпадает с функцией? Наведите порядок в мыслях, пожалуйста. То ли Вы спрашиваете на самом деле, что хотите спросить.

edge в сообщении #1351675 писал(а):

в таком случае будет решением?

Подставьте, проверьте.

[edge]

thething в сообщении #1351674 писал(а):

Пояснения в студию.

вопрос был в том, будет ли интеграл Фурье решением уравнения (1)? и как это можно проверить? Потому как коэффициент разложения не зависит от x, его, вроде как, не продифференцируешь под интегралом.

[thething]

edge
Тогда встречный вопрос (аналогия): если представить решение в виде ряда Тейлора, то будет ли этот ряд решением исходного уравнения, и мешают ли как-то числовые коэффициенты?

[edge]

thething в сообщении #1351680 писал(а):

edge
Тогда встречный вопрос (аналогия): если представить решение в виде ряда Тейлора, то будет ли этот ряд решением исходного уравнения, и мешают ли как-то числовые коэффициенты?

Будет. У меня вопрос больше в том, как это математически отразить, что интеграл Фурье является решением уравнения (1).

[thething]

edge в сообщении #1351681 писал(а):

У меня вопрос больше в том, как это математически отразить, что интеграл Фурье является решением уравнения (1).

Проверить условие какой-нибудь теоремы о представимости функции интегралом Фурье и в силу равенства функции своему интегралу Фурье сделать нужный Вам вывод, о чём уже было сказано здесь

Lia в сообщении #1351669 писал(а):

А какая разница, в каком виде записана функция?

[edge]

thething в сообщении #1351682 писал(а):

Проверить условие какой-нибудь теоремы о представимости функции интегралом Фурье и в силу равенства функции своему интегралу Фурье сделать нужный Вам вывод, о чём уже было сказано здесь

спасибо за рекомендации, это конечно верно...но может кто-то еще варианты предложит...

Lia в сообщении #1351677 писал(а):

Подставьте, проверьте.

Вы предложили подставить исходную неразложенную функцию в уравнение для проверки выполнения равенства, когда мною была допущена ошибка в записи уравнения.
А с интегралом Фурье так не получится, в смысле, подставить в уравнение? Или это бессмысленно пытаться проверить выполнение равенства подстановкой интеграла Фурье в уравнение?
Просто нужно полагать, следуя теории, что раз между исходной функцией и интегралом Фурье стоит равенство, то они оба являются решение одного и того же уравнения?

[Lia]

edge в сообщении #1351733 писал(а):

что раз между исходной функцией и интегралом Фурье стоит равенство, то они оба являются решение одного и того же уравнения?

Да, а что Вас смущает? Если стоит равенство?
Меня вот смущает, что оно стоит, поскольку синус Ваш от $h$ не зависит, а интеграл, очевидно, да. И отсутствие пределов интегрирования меня смущает. И еще по мелочи.
Но если представить функцию в любом другом виде - например, в виде преобразования Фурье от какой-то другой - понятно, что она и в этом виде по-прежнему будет удовлетворять уравнению.

[edge]

Lia в сообщении #1351761 писал(а):

Да, а что Вас смущает? Если стоит равенство?
Меня вот смущает, что оно стоит, поскольку синус Ваш от $h$ не зависит, а интеграл, очевидно, да. И отсутствие пределов интегрирования меня смущает. И еще по мелочи.
Но если представить функцию в любом другом виде - например, в виде преобразования Фурье от какой-то другой - понятно, что она и в этом виде по-прежнему будет удовлетворять уравнению.

h - постоянная Планка...это пример из Ландау-Лифшиц Теоретическая физика, том 3 стр 88.

[Lia]

А )) Дак что ж Вы ее набрали неправильно.