уравнение нормали

[Профессор Снэйп]

Преположите, что некая точка с координатами $(x,y,z)$ расположена на поверхности $f(x,y,z)=0$, где $f(x,y,z) = 4 - x^2 - y^2 - z$, и нормаль к поверхности, проходящая через эту точку, параллельна вектору $(1,1,1)$.

Вектор нормали, как Вам уже неоднократно указывали, параллелен градиенту. Градиент же равен вектору $(-2x, -2y, -1)$. Ну и... когда вектор градиента параллелен вектору $(1,1,1)$? Ясно, что тогда и только тогда, когда $x = 1/2$ и $y = 1/2$. Остаётся только подставить это дело в уравнение поверхности, из уравнения $f(1/2,1/2,z)=0$ найти $z$ и обрести счастье вкупе с полной гармонией.