сходимость по мере измеримых возрастающих функций

[philurame]

Необходимо доказать, что данная последовательность $f_n$ сходится почти всюду.
Легко понять, что предельная $f$ п.в. возрастающая (т.к. у $f_n$ существует сходящаяся п.в. подпоследовательность)
В задаче подсказывают, что нужно обратить внимание на $f_n$ в точках непрерывности предельной $f$.
Можете, пожалуйста, дать подсказку для дальнейших действий (и как использовать эту подсказку)?

[DeBill]

philurame
Прежде спрашивания за подсказку, неплохо бы сформулировать условия задачи....
Оно, конечно, я догадываюсь, что в условии задачи дана посл-ть, сходящаяся , видимо, по мере...А может, слабо?
Ну да ладно... Вы уже установили монотонность предельной функции.
1. Как много у нее может быть точек разрыва?
2. Покажите. что в точках непрерывности есть сходимость п.в. (по
заданному эпсилон найдите окрестность точки (интервальчик), где функция мало отличается от значения в точке. Поделите его на 4 равных части. Теперь воспользуйтесь определением сходимости по мере, и покажите, что на правой (левой) четвертинке есть точки, в которых $f_n$ мало отличается от $f$ , при больших $n$. Монотонность $f_n$ поможет установить хорошую оценку на всей центральной части интервальчика....

[philurame]

DeBill
гениально, я понял, спасибо