Теория групп. Задача.

[bayah]

Цитата:

Пусть $N$ — нормальная, а $A$ — произвольная подгруппа в $G$. Укажите верные (при любом выборе $G$ , $N$ и $A$) утверждения:
1). $\langle A , N \rangle = AN = NA$
2). $A \cap N = N$
3). $\langle A, N \rangle = N \cup A$
4). $N \cap A$ есть нормальная подгруппа в $A$

Со всеми пунктами вроде разобрался, кроме 3). Я уже знаю, что это утверждение не верно.
Из первого пункта выяснил, что $\langle A , N \rangle = AN = NA$.
Получается что $AN = NA = N \cup A \Leftrightarrow (A \cup N) \leqslant G$, так как все произведения из множества остаются в множестве ($(A \cup N) \times (A \cup N) \to (A \cup N)$), ассоциативность выполняется так как это все элементы группы $G$, нейтральный и обратный элемент есть, так как как $A$ и $N$ - группы.

То есть теперь нужно показать, почему не для всех таких $A$ и $N$ их объединение есть группа. Вроде бы это понятно, что такое объединение это не обязательно группа, но как это показать?
Наверное можно взять какой нибудь контрпример, но как это сделать из общих рассуждений?

[vladg]

Что значит "из общих рассуждений"? Чем вас не устраивает контрпример? Утверждения общего характера именно так и опровергаются.

[bayah]

vladg в сообщении #1351572 писал(а):

Что значит "из общих рассуждений"? Чем вас не устраивает контрпример? Утверждения общего характера именно так и опровергаются.

Ну я имел ввиду какую нибудь конструкцию более общую чем конкретный пример.
Но пока и конкретный не могу придумать)

[vladg]

Не можете придумать пример, когда объединение подгрупп, из которых хотя бы одна нормальна, не является подгруппой? Не может быть, есть тривиальные примеры.

[Xaositect]

bayah в сообщении #1351574 писал(а):

Ну я имел ввиду какую нибудь конструкцию более общую чем конкретный пример.

Хотите общую, докажите, что если для двух погрупп $A$, $B$ справедливо $AB = A \cup B$, то $A \subseteq B$ или $B \subseteq A$. От противного.

[bayah]

vladg в сообщении #1351576 писал(а):

Не можете придумать пример, когда объединение подгрупп, из которых хотя бы одна нормальна, не является подгруппой? Не может быть, есть тривиальные примеры.

Чето правда не смог ничего сообразить из тривиального и сконструировать тоже.
Потом просто наугад мне повезло что этим примером оказалась группа симметрий правильного треугольника:

$G = \{e, (120), (-120), (1), (2), (3)\}$
$N = \{e, (120), (-120)\}$,
$A = \{e, (1)\}$,

где $(120), (-120)$ - повороты на соответствующие углы,
$(1), (2), (3)$ - три возможных отражения относительно оси проходящей через вершину и середину противоположной стороны

Тогда $A \leqslant G$, и $N \unlhd G$.
Но $N \cup A$ не является группой, так как, например, $(120)(1) = (3) \notin N \cup A$.

Есть что-то проще?

[Munin]

Эта группа и есть самая простая неабелева группа. На её примере удобно рассматривать многие неочевидные конструкции.

[demolishka]

bayah в сообщении #1352161 писал(а):

просто наугад

В том-то и дело, что подобрать нетривиальные подгруппы так, чтобы их объединение было подгруппой сложнее, нежели построить контрпример. Можно тыкать в почти любые подгруппы почти любой группы и получать контрпримеры. Попробуйте "потыкать" в подгруппы $\mathbb{Z}$.