Интегрирование бесконечное количество раз

[Ioda]

Здравствуйте. Возможно вопрос бессмысленный ,так как скорее всего некорректный. Пусть есть функция $f(x)$ ,найдем ее первообразную:

$$F_1(x)+c_0=\int\limits_{}^{}f(x)dx$$

Найдем первообразную от первообразной:

$$F_2(x)+c_0x+c_1=\int\limits_{}^{}(F_1(x)+c_0)dx$$

Продолжая находить первообразные таким образом бесконечное количество раз ,мы можем (или не можем) формально придти к первообразной "бесконечного" порядка :

$$F^*(x)+\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_k\frac{x^k}{k!}$$

,т.е. данная первообразная является суммой непосредственно первообразной "бесконечного" порядка исходной функции и ряда Тейлора какой-либо аналитической функции. Вопрос : имеет ли данная "первообразная" какой-то смысл? Если бы мы брали предел ($\lim\limits_{n\to\infty}^{}...$ , где $n$ количество итераций нахождения первообразной ) это имело бы смысл?

[kotenok gav]

Ioda в сообщении #1351470 писал(а):

Вопрос : имеет ли данная "первообразная" какой-то смысл?

Нет.

[Ioda]

kotenok gav в сообщении #1351472 писал(а):

Нет.

Это и ежу мне очевидно. Только хотел бы разобраться : не из-за неопределенности ли этого предела итераций это не имеет смысла?

[arseniiv]

Ioda
А найдите коэффициент при $x^0$ в вашей «первообразной».

Ioda в сообщении #1351475 писал(а):

Только хотел бы разобраться : не из-за неопределенности ли этого предела итераций это не имеет смысла?

Именно.

[Ioda]

arseniiv в сообщении #1351477 писал(а):

А найдите коэффициент при $x^0$ в вашей «первообразной».

Да ,я напутал там ,но так как это не имеет смысла погода лучше не станет. Спасибо за помощь.

[Sicker]

Ioda
Если вместо неопределенной первообразной рассмотреть интеграл от нуля до икс, то предел найти можно.
Найдите его

-- 04.11.2018, 04:35 --

Ну или хотя бы от нуля до единицы если быть точнее.

[arseniiv]

И после первого же интегрирования остаётся число, которое дальше нельзя интегрировать, потому что это не функция.

[Ruslan_Sharipov]

Sicker в сообщении #1351550 писал(а):

Если вместо неопределенной первообразной рассмотреть интеграл от нуля до икс...

В этом есть здравое зерно. Для $x\neq 0$ рассмотрим функцию

$$ F_n(x)=\frac{n!}{x^n}\underbrace{\int^x_0\Bigl(\ldots\Bigl(\int^x_0}_{n} f(x)dx\Bigr)\ldots\Bigr)dx. $$

Возникает задача: описать класс функций, для которых существует предел

$$ \lim_{n\to+\infty} F_n(x). $$

Этот класс непуст, поскольку содержит тождественно константные функции, если понимать предел в смысле поточечной сходимости при всех $x\neq 0$. Задачу можно разнообразить, если понимать предел в смысле сходимости почти всюду по какой-либо мере или в топологии какого-нибудь функционального пространства.

[Vince Diesel]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1351623 писал(а):

Возникает задача: описать класс функций, для которых существует предел

$$ \lim_{n\to+\infty} F_n(x). $$

Для непрерывных функций предел равен $f(0)$. Так что, возможно, ответ будет — интегрируемые функции, для которых существует конечный предел $f(0+)$.

[Dan B-Yallay]

arseniiv в сообщении #1351590 писал(а):

И после первого же интегрирования остаётся число, которое дальше нельзя интегрировать, потому что это не функция.

Это просто функция-константа.

[arseniiv]

На автопилоте поднимать все значения до константных функций от произвольного числа аргументов опасно. (И не предупреждал ли нас даже когда-нибудь однажды об этом ИСН?)