Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3

[Rob123]

Необходимо доказать, что уравнение

$x^3+y^3+z^3=0. \qquad (1)

не имеет решений в целых ненулевых попарно взаимно простых числах. Доказательство основано на тождестве

$(x+$у+$z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(z+y). (2)

Предположим, что уравнение (1) имеет некоторое решение в ненулевых целых числах x, y, z, тогда из (2) следует

$(x+$y+$z)^3=3(x+y)(x+z)(z+y). (3)

Легко видеть, что из (3) следует, что одно и только одно из попарно взаимно простых чисел x, y, z обязано делится на 3.
Также простым перебором остатков по модулю 3 в уравнении

$(3x'_1+x_2)^3+(3y'_1+y_2)^3+(3z'_1+z_2)^3=0; x_2, y_2, z_2=0,1,2 (4)

можно убедиться, что одно и только одно из чисел x, y, z делится на 3 (всего 27 вариантов). Это частный случай теоремы Софи Жермен.
Пусть для определенности x делится на 3, $x=3^m x_1$, где $x_1$ не кратно числу 3
тогда из (1) при h=y+z получаем

$-x^3=$y^3+$z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)=h(h^2 - 3 h z + 3 h z^2)=-3^{3m} x_1^3$, (5)

следовательно,

$h=y+z=3^{3m-1} h_1^3,$$ (6)

где $h_1$ не кратно числу 3.
В итоге из (3) получаем

$(3^m x_1+3^{3m-1} h_1^3)^3=3(x+y)(x+z)(3^{3m-1} h_1^3), (7)

что противоречит требованию $h_1$ не кратно числу 3.

[danton]

Rob123 в сообщении #1350928 писал(а):

Легко видеть, что из (3) следует, что одно и только одно из попарно взаимно простых чисел x, y, z обязано делится на 3.

Данное утверждение вызывает у меня сомнения. Как мы исключаем возможность того что ни одно из них не делится на 3?

[iifat]

danton в сообщении #1350938 писал(а):

Как мы исключаем возможность того что ни одно из них не делится на 3?

(Безотносительно к доказательству в начальном письме) Если ни одно не делится, то все дают по модулю $3$ единицу либо минус единицу (поскольку сумма первых/третьих (что неважно) степеней даёт по модулю ноль). Тогда попарные суммы не делятся на три, сумма делится, стало быть куб суммы делится на $3^3$. Противоречие с (3)

[Someone]

Rob123 в сообщении #1350928 писал(а):

В итоге из (3) получаем
$(3^m x_1+3^{3m-1} h_1^3)^3=3(x+y)(x+z)(3^{3m-1} h_1^3), (7)

что противоречит требованию $h_1$ не кратно числу 3.

Не понял, в чём противоречие. Левая часть делится на $3^{3m}$ и не делится на $3^{3m+1}$, и правая тоже делится на $3^{3m}$ и не делится на $3^{3m+1}$.

Замечания по поводу записи формул. (Обратите внимание, во что превратилась ваша формула при цитировании.)
Внутристрочная формула должна начинаться с одиночного знака доллара и заканчиваться одиночным знаком доллара.
Выключная формула должна начинаться парой знаков доллара и заканчиваться парой знаков доллара.
В обоих случаях внутри формулы знаков доллара не должно быть. Если зачем-то понадобился символ "$\$$" в формуле, он кодируется как \$, но это сбивает с толку движок форума, который может неправильно расставить теги math, и их вокруг такой формулы надо расставить вручную.
Окружать выключную формулу тегом центрирования не надо, она центрируется автоматически.
Для указания номера выключной формулы используется команда \eqno:

$$x^3+y^3+z^3=0.\eqno(1)$$

$$[/math]x^3+y^3+z^3=0.\eqno(1)$$

[Rob123]

Действительно, противоречия, в отличии от Первого случая ВТФ не получается. С ходу взять не получилось . Однако формула (2) слишком красива, и за ней должно что-то скрываться. В частности, из аналога тождества (2) для n=5 и n=7 (и возможно многих других) следует Первый случай ВТФ. Для Второго случая она не срабатывает.

[Someone]

Rob123 в сообщении #1353489 писал(а):

В частности, из аналога тождества (2) для n=5 и n=7 (и возможно многих других) следует Первый случай ВТФ.

Про пятую степень не помню, а для седьмой степени точно не следует.

А для третьей степени можно вполне элементарно доказать, что одно из чисел $x,y,z$ должно делиться на $3^2$.