Интеграл от резольвенты

[amon]

Ликбезовский вопрос. Есть оператор $A(\omega)=\frac{d}{dx}+\omega,$ действующий на отрезке $x\in[0,1]$ на периодические на этом промежутке аналитические комплекснозначные функции $Z(x):Z(0)=Z(1),$ параметр $\omega$ - положительное вещественное число.
1. Правда ли, что $\ln A(\omega)-\ln A(\omega_0)=\int\limits_{\omega_0}^{\omega}d\omega'A^{-1}(\omega')?$
2. Если правда, то достаточно ли для обоснования этого утверждения аналитичности резольвенты оператора $\frac{d}{dx}$ на резольвентном множестве?