Площадь поверхности цилиндра, вырезаемой конусом

[follow_the_sun]

Найти площадь поверхности цилиндра $x^2+y^2+2x=0$, вырезаемой конусом $x^2+y^2-z^2=0$
Мое решение:
1)Проекция кривой пересечения - окружность $(x+1)^2+y^2=1$
2)Поверхность цилиндра в этой области совпадает с параболой $z=-2\sqrt{x}$
3) Частная производная по $x=\dfrac{-1}{\sqrt{x}}$, по $y$ равна нулю
4)По формуле:

$$\int\limits_{0}^{-1}dx \int\limits_{-\sqrt{(x+2)x}}^{\sqrt{(x+2)x}} (1+\dfrac{1}{x})dy$$

получается неберущийся интеграл. Подскажите, где ошибся.

[B@R5uk]

Может быть минус один, а не плюс один?

-- 29.10.2018, 21:39 --

И вообще, вы считаете площадь линейчатой поверхности, состоящей из вертикальных отрезков. Более того, она симметрична относительно плоскости $z=0$. Не проще ли параметризовать отрезки, составляющие эту поверхность, полярным углом с осью цилиндра в качестве центра и получить для площади один одинарный интеграл? Длина отрезков как функция угла считается легко.

Это, конечно же, на самом деле двойной интеграл, но его внутренняя часть при таком подходе является интегралом по $dz$ по вертикальному отрезку и считается в уме, не правда ли?

[follow_the_sun]

B@R5uk
Поправил, опечатался в условии

[thething]

follow_the_sun в сообщении #1350092 писал(а):

Поверхность цилиндра в этой области совпадает с параболой $z=-2\sqrt{x}$

Это как?

Тут удобнее переходить к цилиндрическим координатам (со сдвигом) и использовать формулу с $\sqrt{EG-F^2}$.

[follow_the_sun]

thething

thething в сообщении #1350169 писал(а):

Это как?

Так если выразить $x^2+y^2$ и приравнять, то получится, что поверхности пересекаются по этой кривой.

thething в сообщении #1350169 писал(а):

Тут удобнее переходить к цилиндрическим координатам (со сдвигом) и использовать формулу с $\sqrt{EG-F^2}$.

Хм, дело в нерациональном выборе системы координат?

[thething]

follow_the_sun в сообщении #1350259 писал(а):

Хм, дело в нерациональном выборе системы координат?

От выбора другой системы координат неберущийся интеграл не становится берущимся. Дело именно в неверных рассуждениях вот здесь

follow_the_sun в сообщении #1350259 писал(а):

Так если выразить $x^2+y^2$ и приравнять, то получится, что поверхности пересекаются по этой кривой.

follow_the_sun в сообщении #1350092 писал(а):

$x^2+y^2+2x=0$, $x^2+y^2-z^2=0$

Вообще-то можно работать в декартовых координатах, но в данной задаче это жутко неудобно, т.к. у нас нет явного вида поверхности в форме $z=f(x,y)$, проектирующейся на нормальную область.

[follow_the_sun]

thething
Я понял, где ошибка. Ищем площадь поверхности от основания до сечения конусом?

[thething]

А что такое основание? У Вас часть боковой поверхности, вырезаемая конусом. Если смотреть с конца оси $y$, то напоминает треугольник. Лучший способ -- параметризовать поверхность полярным углом $\varphi$ и высотой $h$. При этом $h$ будет меняться в зависимости от $\varphi$.

[follow_the_sun]

thething

thething в сообщении #1350278 писал(а):

А что такое основание?

Ну очевидно, что окружность на $OXY$

[thething]

Неочевидно. У Вашей поверхности нет никакого основания (в общепринятом смысле), ибо это -- боковая поверхность цилиндра (стоящая как бы на ребре). Да и у цилиндра того основания нет, цилиндр -- бесконечный. Но вообще, кому какая разница, что и как называть, лишь бы понимание было правильным, поэтому советую посмотреть на эту поверхность в какой-нибудь программе.