Броуновское движение, время остановки, мат. ожидание

[Makarena]

Добрый вечер, коллеги.

Нужно посчитать вот такое:

$E[1_{\max_{0 \leqslant u \leqslant t}B(u) \geqslant 1}(-2 - \min_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}B(u))^{+}]$, где $+$ - это максимальное значение между $0$ и выражением в скобках

_________

Что я сделал:
Есть так называемое сильное марковское свойство, суть которого в том, что если $B(u)$ - броуновское движение, а T - stopping time (марковский момент?), значит $W(u) = B(u + T) - B(T)$ тоже. Попытаюсь это использовать
$-2 - \min_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}B(u) = -2 - \min_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}W(u - T_{1}) + 1 = -3 - \min_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}W(u - T_{1}) = -3 + \max_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}W(u - T_{1}) = -3 + \max_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}B(u) - 1 = -4 + \max_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}B(u) $

В итоге я получаю такую структуру.
$E[1_{\max_{0 \leqslant u \leqslant t}B(u) \geqslant 1}(-4 + \max_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}B(u))^{+}]$
Далее я делаю вывод, что индикатор поглощается т.е. при положительном значении максимума индикатор заведомо выполняется, а иначе будет 0.
В итоге всё сводится к подсчёту $E[(\max_{T_{1} \leqslant u \leqslant t}B(u) - 4)^{+}]$.
Дальше вот я чё-то не могу сообразить. У меня есть плотность вероятности для максимума броуновского движения, однако вот это условие на максимум, начинающееся с $T_{1}$ меня напрягает.
Будет ли ответ просто равен $\int_{4}^{t} \sqrt{\frac{2}{t \pi}}ye^{-\frac{y^2}{2t}}dy$ = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}e^{-\frac{8}{t}}?

Я честно вот делал это как-то слишком интуитивно, особенно это касается марковского свойства. Очень хотелось бы подтверждения правоты или указания на ошибки.