Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события.

[Men007]

Студенты фальсифицируют данные лабораторных работ с вероятностью $\frac{2}{7}$. 1) Найдите наиболее вероятное число сфальсифицированных лабораторных работ из $11$ возможных. 2) Чему равна вероятность того, что студенты честно выполнят не больше $3$ лабораторных работ из $11$.

Решение:
$n=11$ - общее число лабораторных работ;
$p=\frac{2}{7}$ - вероятность того, что студенты фальсифицируют данные лабораторных работ;
$q=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$ - вероятность того, что студенты не фальсифицируют данные лабораторных работ.

1) Пусть $m$ - наиболее вероятностное число сфальсифицированных лабораторных работ из $11$ возможных.
Известно, что $m $ должно удовлетворять неравенству:
$np-q \leqslant m \leqslant np+p$.
Следовательно, имеем:
$11 \cdot \frac{2}{7}-\frac{5}{7} \leqslant m \leqslant 11 \cdot \frac{2}{7}+\frac{2}{7}$,
откуда $\frac{17}{7} \leqslant m \leqslant \frac{24}{7}$.
Тогда, поскольку наиболее вероятностное число сфальсифицированных лабораторных работ должно быть натуральным числом, входящим в интервал $[\frac{17}{7};\frac{24}{7}]$, то $m=3$.

2) Согласно условию задачи $m \in [0;3]$.
Для данной задачи при $npq<9$, воспользуемся формулой Бернулли:
$P_n(m)=C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m}$.
Следовательно, с помощью данной формулы рассчитаем $P(A)$, где $A$- событие, при котором студенты честно выполнят не больше $3$ лабораторных работ из $11$.
Имеем: $P(A)=P_{11}(0) P_{11}(1) P_{11}(2) P_{11}(3)$, где $P_{11}(0), P_{11}(1), P_{11}(2), P_{11}(3)$ - вероятности того, что студенты четно выполнят $0, 1, 2, 3 $ лабораторных работы.
Таким образом, получим:

$P(A)=C_{11}^{0}(\frac{2}{7})^{0}(\frac{5}{7})^{11} \cdot C_{11}^{1}(\frac{2}{7})^{1}(\frac{5}{7})^{10} \cdot C_{11}^{2}(\frac{2}{7})^{2}(\frac{5}{7})^{9} \cdot C_{11}^{3}(\frac{2}{7})^{3}(\frac{5}{7})^{8}=0,611$.

Не уверен на счет $P(A)$. Не получил ли я случайно, что $P(A)$ - вероятность того, что студенты сфальсифицируют не больше $3$ лабораторных работ из $11$.
Или же я нашел все верно?

[Someone]

Men007 в сообщении #1349366 писал(а):

Имеем: $P(A)=P_{11}(0) P_{11}(1) P_{11}(2) P_{11}(3)$

Вы точно знаете, что тут именно произведение?

[Men007]

Someone
Опечатка, там конечно же сумма (я ее имел ввиду) $P(A)=P_{11}(0) + P_{11}(1)+ P_{11}(2) +P_{11}(3)$.

-- 27.10.2018, 12:14 --

Таким образом, получим:

$P(A)=C_{11}^{0}(\frac{2}{7})^{0}(\frac{5}{7})^{11} + C_{11}^{1}(\frac{2}{7})^{1}(\frac{5}{7})^{10} + C_{11}^{2}(\frac{2}{7})^{2}(\frac{5}{7})^{9} + C_{11}^{3}(\frac{2}{7})^{3}(\frac{5}{7})^{8}=0,611$.