Непростое простое число

[Ktina]

Простое число $p$ назовём непростым, если сумма квадратов его десятичных цифр равна $q^r$, а сумма квадратов десятичных цифр числа $p+1$ равна $r^q$, где $q$ и $r$ - простые числа.

Существуют ли хотя бы два различных непростых простых числа?

[wrest]

Ktina в сообщении #1349070 писал(а):

Существуют ли хотя бы два различных непростых простых числа?

То есть хотя бы одно вы нашли уже?

-- 25.10.2018, 18:43 --

До миллиарда включительно таких чисел $340$, все суммы квадратов их десятичных цифр равны $25$. Все заканчиваются на $3$.

Код на PARI/GP который все их печатает:

(Оффтоп)

c=0;forprime(p=2,10^9,v1=digits(p);s1=0;for(i=1,#v1,s1=s1+v1[i]^2);k1=ispower(s1,,&n1);if(k1==0,next);if(!isprime(n1),next);if(!isprime(k1),next);v2=digits(p+1);s2=0;for(i=1,#v2,s2=s2+v2[i]^2);k2=ispower(s2,,&n2);if(k2==0,next);if(k1<>n2,next);if(n1<>k2,next);c=c+1;print(c, " p=",p," s1=",s1,"=",n1,"^",k1," s2=",s2,"=",n2,"^",k2))

[wrest]

Не вижу причин почему бы их было не бесконечно много, до $10$ миллиардов нашлось итого $811$
Самое большее (но компактно записанное) что удалось найти: $p=4\cdot 10^{3813}+3$
P.S. Сертификацию на простоту этого числа оставляем для исследвания ТС-у

[Ktina]

wrest в сообщении #1349087 писал(а):

P.S. Сертификацию на простоту этого числа оставляем для исследвания ТС-у

(Оффтоп)

Могу только на простату

[wrest]

Вчера забыл выключить проверялку, теперь самое большое (предположительно) такое:
$p=4\cdot 10^{11293}+3$

[yk2ru]

То есть между 4 и 3 ставится много нулей просто и смотрится (всевдо)простота числа.

[wrest]

yk2ru в сообщении #1349186 писал(а):

То есть между 4 и 3 ставится много нулей просто и смотрится (всевдо)простота числа.

В данном случае - да, поскольку очевидно, что если оно простое, то и "непростое простое" тоже.
Структура понятна: поскольку последняя цифра -- $3$, а сумма квадратов всех цифр -- $25$, то сумма квадратов всех кроме последней цифры -- $16$.
Это, соответственно, такие наборы цифр исключая последнюю:
$4$
$3;1;1;1;1;1;1;1$
$3;2;1;1;1$
$2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1$
$2;2;1;1;1;1;1;1;1;1$ - не подходит, сумма равна $12$, делится на $3$.
$2;2;2;1;1;1;1$
$2;2;2;2$
$1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1$
Вот переставлять их так и этак, добавлять между ними нули туда и сюда, добавлять в конце тройку -- и проверять на простоту...

[wrest]

wrest в сообщении #1349176 писал(а):

Вчера забыл выключить проверялку, теперь самое большое (предположительно) такое:
$p=4\cdot 10^{11293}+3$

Повышаем ставки: $p=4\cdot 10^{21061}+3$