частица скатывается по гладкой горке дифференцируемой кривой

[Paul Ivanov]

Добрый день.
Вопрос немного смежен с физикой. Представим себе кривую гладкую горку, профиль которой есть всюду дифференцируемая функция. По ней скатывается частица под действием силы тяжести. Для меня до сегодняшнего момента было привычно рассуждать так: в любой точке скатывания на частицу действуют две силы: сила тяжести $m\bar{g}$ и сила реакции опоры $\bar{N}$, причём, вроде бы, так как частица не взлетает над горкой и не проваливается в неё, то в любой момент проекция силы тяжести на прямую параллельную $\bar{N}$ равна по модулю $|\bar{N}|$. Но тогда получается, что в любой момент скатывания на частицу действует сила, вектор которой коллинеарен вектору её скорости в этот момент и оба вектора параллельны касательной к кривой горки в данной точке. А коли так, то получается, что нормальное ускорение всегда равно нулю, но насколько мне известно то, что нормальное ускорение постоянно равно нулю, может обозначать только одно: точка движется по прямой. Противоречие. Где ошибка?

[pogulyat_vyshel]

Paul Ivanov в сообщении #1348798 писал(а):

так как частица не взлетает над горкой и не проваливается в неё, то в любой момент проекция силы тяжести на прямую параллельную $\bar{N}$ равна по модулю $|\bar{N}|$.

уравнения писать надо , а не философствовать

[Paul Ivanov]

Хорошо, если с вами можно говорить только на языке формул, то вопрос звучит так: в условиях задачи, описанной мною выше, верно ли, что $\left\lvert\frac{(\bar{N}(t)+m\bar{g})\cdot\bar{v}(t)}{|\bar{N}(t)+m\bar{g}||\bar{v}(t)|}\right\rvert=1$

-- 24.10.2018, 17:26 --

[pogulyat_vyshel]

Когда я говорил, что надо писать уравнения, я не имел в виду, что в уравнения вы будете облекать ваши домыслы. Второй закон Ньютона распишите по реперу Френе кривой.

-- 24.10.2018, 18:48 --

Пусть кривая находится в вертикальной плоскости и неподвижна. $k(s)>0$ -- кривизна кривой, $s$ -- натуральный параметр. И пусть $s(t)$ -- закон движения точки по кривой. Тогда ускорение точки записывается так $\boldsymbol a=\ddot s\boldsymbol\tau+k(s)\dot s^2\boldsymbol n$, где $\boldsymbol\tau,\boldsymbol n$ -- единичные векторы, касательный и нормальный к кривой соответственно. Они образуют репер Френе. Ускорение свободного падения раскладывается так $\boldsymbol g=g(\cos\theta\boldsymbol\tau+\sin\theta\boldsymbol n)$, где $\theta=\theta(s)$ -- заданная функция, она характеризует положение кривой относительно силы тяжести.
Второй закон Ньютона $m\boldsymbol a=N\boldsymbol n+m\boldsymbol g$, первое слагаемое в правой части этой формулы -- сила реакции кривой

[ET]

Paul Ivanov в сообщении #1348798 писал(а):

то в любой момент проекция силы тяжести на прямую параллельную $\bar{N}$ равна по модулю $|\bar{N}|$.

Ой ли? Здесь-то ошибка должна быть

[Евгений Машеров]

Paul Ivanov в сообщении #1348798 писал(а):

так как частица не взлетает над горкой и не проваливается в неё, то в любой момент проекция силы тяжести на прямую параллельную $\bar{N}$ равна по модулю $|\bar{N}|$

Если бы указанное равенство имело бы место, то ускорение в вертикальном направлении было бы равно нулю.

[Paul Ivanov]

Paul Ivanov в сообщении #1348798 писал(а):

то в любой момент проекция силы тяжести на прямую параллельную $\bar{N}$ равна по модулю $|\bar{N}|$

Да, ошибка действительно здесь. Спасибо, разобрался.