Какова структура конечных коммутативных колец

[Karabas_Barabas]

Здравствуйте,
подскажите пожалуйста, верно ли, что для любого конечного коммутативного кольца $\mathbb A$
$\mathbb A = \prod_i \mathbb Z / \mathbb Z p^i$ с некоторыми простыми p? , на интернете есть такие утверждения в математических форумах

и как тогда разлагается например
$\mathbb F_3^5 \times \mathbb Z / 7 \mathbb Z $
либо например
$\mathbb A = \mathbb Z[x] / \mathbb Z[x] p(x)}$ полагая в данном случае что p некоторый полином
Какие есть простые примеры, например линейных операторов над кольцами, ведь если кольцо коммутативно, там должна быть коммутативная матрица, которая видимо диагонализируема и опять значит некоторая прямая сумма?
Если нет, покажите пожалуйста контрпример, нашёл такую вот книгу http://mi.mathnet.ru/mz9747
но не понял с самого начала, при чём здесь рациональные числа, ведь их бесконечно много.
Спасибо

[iou]

Нет.
Например, кольцо $\mathbb{F}_2/[x^2]$ состоит из четырёх элементов, его характеристика два, но это не $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, поскольку есть нильпотент.
Этот изоморфизм работает с точки зрения абелевых групп, но уважать структуру кольца он не обязан.

[Karabas_Barabas]

iou в сообщении #1348627 писал(а):

Нет.
Например, кольцо $\mathbb{F}_2/[x^2]$ состоит из четырёх элементов, его характеристика два, но это не $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, поскольку есть нильпотент.
Этот изоморфизм работает с точки зрения абелевых групп, но уважать структуру кольца он не обязан.

Спасибо, я так и думал, а что может быть в разложении на прямую сумму, если может, кроме $\mathbb{Z}[x]/[p(x)]$ и $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ , простой и конкретный пример если можно, в интернете есть целые монографии и диссертации на эту тему, люди задаются вопросом о классификации и о количестве разных конечных коммутативных колец, что там ещё бывает?

[alcoholist]

Karabas_Barabas в сообщении #1348613 писал(а):

при чём здесь рациональные числа, ведь их бесконечно много

Целых чисел тоже бесконечно много. А фактор-кольца конечны.

[g______d]

Довольно нетривиальный вопрос. Любое конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных, любое конечное локальное имеет порядок $p^n$, а вот дальше засада

https://oeis.org/A037289

https://mathoverflow.net/questions/7133 ... tive-rings

Эту книгу можно посмотреть:

https://www.springer.com/us/book/9781402070396

она с вероятностью 99% есть на либрусеке, но он у меня сейчас не работает.

[Karabas_Barabas]

Спасибо, в этой книге, в главе структура конечных коммутативных колец,
я там не нашёл других примеров кроме прямых сумм с членами вида $\mathbb Z [x]/[p(x)]$ о которых мы упоминали, думал может кто-нибудь знает простой пример чего то другого если это другое существует,

[Karabas_Barabas]

g______d в сообщении #1350115 писал(а):

Довольно нетривиальный вопрос. Любое конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных, любое конечное локальное имеет порядок $p^n$, а вот дальше засада
Эту книгу можно посмотреть:
https://www.springer.com/us/book/9781402070396
она с вероятностью 99% есть на либрусеке, но он у меня сейчас не работает.

Товарищи математики, позволю себе поднять тему,
помогите пожалуйста найти один пример, который бы не был из описанных выше. Можно например подумать о кольце векторов над неким конечным полем с умножением в виде векторного умножения, правильно? Что это будет? Что ещё можно?

И кстати : если неизвестно ни одного примера конечного коммутативного кольца, разложение которого включало бы нечто другое, то почему тогда стоит вопрос о количестве такого рода колец?

Вот монография если что, которую мне посоветовали в предыдущей записи, спасибо g______d
https://drive.google.com/open?id=1r6bAg ... 3dKlC2pNgj

[g______d]

Karabas_Barabas в сообщении #1352028 писал(а):

я там не нашёл других примеров кроме прямых сумм с членами вида $\mathbb Z [x]/[p(x)]$

Например,

$\mathbb Z[x_1,\ldots,x_n]/I$, где $I$ -- некоторый идеал в кольце многочленов от $n$ переменных (такой, чтобы получилось конечное кольцо).

[Karabas_Barabas]

g______d в сообщении #1355075 писал(а):

Karabas_Barabas в сообщении #1352028 писал(а):

я там не нашёл других примеров кроме прямых сумм с членами вида $\mathbb Z [x]/[p(x)]$

Например,

$\mathbb Z[x_1,\ldots,x_n]/I$, где $I$ -- некоторый идеал в кольце многочленов от $n$ переменных (такой, чтобы получилось конечное кольцо).

Здравствуйте, спасибо.
И что тогда получится? Вот что-то такое например $\mathbb Z_p[x,y]/[1+x\times y, x^3, y^5]$ оно может не разложится в сумму уже упомянутых выше слагаемых, где можно посмотреть примеры, возможно упражнения с решениями, посмотреть поведение различных колец на примерах, возможно вам известны библиотеки на Математике, на Яве или на С++? Возможно какие-нибудь элементарные и конкретные учебники или записи каких-то спецкурсов?

[g______d]

Это искать надо, у меня не получилось с ходу. Вот нашёл две статьи с описанием колец порядка $p^5$:

https://core.ac.uk/download/pdf/82820200.pdf
https://core.ac.uk/download/pdf/82069893.pdf

[Karabas_Barabas]

g______d в сообщении #1355301 писал(а):

Это искать надо, у меня не получилось с ходу. Вот нашёл две статьи с описанием колец порядка $p^5$:

https://core.ac.uk/download/pdf/82820200.pdf
https://core.ac.uk/download/pdf/82069893.pdf

Спасибо большое, почитаю.