Про разложение векторов

[tohaf]

"Внешний" вид вектора зависит от базиса, в котором вектор раскладывается? Вопрос тупой, конечно, но где-то я запутался.




$x$ и $y$ на трех рисунках выше - это, по сути, коэффициенты на которые нужно умножить базисные векторы, чтобы после их сложения получился исходный вектор.


Разложить вектор $\vec{a}(2; 3)$ по базисным векторам $\vec{e_1}(1; 0)$, $\vec{e_2}(0; 1)$.
Составляется система линейных уравнений и решается. Если три неизвестных - то система решается методом Крамера, например.

$$\vec{a} = x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2}$$

$$\vec{a} = 2 \vec{e_1} + 3 \vec{e_2}$$

Разложить вектор $\vec{a}(2; 3)$ по базисным векторам $\vec{e_1}(1\frac{1}{2}; 0)$, $\vec{e_2}(\frac{1}{2}; 1)$.

$$\vec{a} = x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2}$$

$$\vec{a} = \frac{1}{3} \vec{e_1} + 3 \vec{e_2}$$

И вот чего я не понимаю. Почему вид вектора в правом левом верхнем углу отличается от вида в правом нижнем?

[wrest]

От базиса зависят координаты вектора [в этом базиcе], а сам он ни от чего не зависит. Это немножко на тему "а в попугаях я гораздо длиннее".

tohaf в сообщении #1348588 писал(а):

Почему вид вектора в правом левом

В право-левом?

[mihaild]

(обозначим базисные вектора "вправо" и "вверх" за $\vec{i}$ и $\vec{j}$, а вектора другого базиса - за $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$)
В правом верхнем углу у вас нарисован вектор $2 \vec e_1 + 3 \vec e_2$. В правом нижнем углу у вас нарисован вектор $2\vec i + 3\vec j$. Естественно они разные.

При изображении векторного пространства на листе нам нужно выбрать начало координат и какие-нибудь направления на листе (например "вверх" и "вправо"), соответствующие какому-то базису (например $\vec i, \vec j$). После этого изображение каждого вектора определяется уже однозначно.

Вектор, имеющий координаты $(x, y)$ в базисе $\vec i, \vec j$ и вектор, имеющий координаты $(x, y)$ в базисе $\vec e_1, \vec e_2$ - это в общем случае разные вектора, и соответственно изображаться они будут по-разному (при фиксированном соответствии "направлений на листке" и векторов).

[gris]

В вашем ПВ углу координаты вектора $(2,3)$ даны в нарисованном кривоугольном базисе. А в ПН углу координаты и векторов нового базиса и координаты вектора $(2,3)$ даны в прямоугольном старом базисе (он нарисован синеньким в ЛН углу).
Естественно, если на одном листе бумаги рисовать векторы $(2,3)$ при условии, что эти две координаты заданы в различных базисах, то и их внешние виды будут разными. О, уже объяснили.
Ну, кстати, вид определён с точностью до параллельного переноса.

[arseniiv]

Ещё может быть интересно: возьмём, скажем, длину какого-нибудь отрезка, например она равна 42 см. Она, очевидно, не зависит от того, в каких единицах мы её измеряем, но от этих единиц зависит её численное значение: 420 мм, 0,42 м, 16,5… дюймов. Тут мы как раз имеем дело с одномерным линейных пространством, элементы которого — значения размерной величины (длины), базисы — это единицы измерения (сантиметр, дюйм, сажень…), а координаты в таких базисах — численные значения величин.

[tohaf]

Все равно не понял, но всем спасибо.

[arseniiv]

Жалко.

В общем, векторы никуда не едут, едут координаты — когда они вообще есть.