Волчок Лагранжа

[pogulyat_vyshel]

Задачка, фактически, на доп. вопрос на экзамене. Волчок Лагранжа (см рисунок) В осях $Oxyz$, которые связаны с волчком, известен оператор инерции $J_O=\mathrm{diag}\,(A,A,B)$.
Волчок запускают, таким образом, что в начальный момент времени $\theta=\pi/2,\quad \dot\varphi=\omega\ne 0$.
Кроме того $\theta(t)\to 0$ при $t\to\infty$.
Найти $\lim_{t\to\infty}\dot\varphi(t)$

[fred1996]

А что, разве есть моменты сил, которые способны изменить $\omega $? И сила тяжести , и сила реакции опоры проходят через эту ось. То есть создают нулевой момент относительно оси $z$ в любой момент времени.
Мне кажется, тут более интересен вопрос, каков максимальный угол $\theta$ - отклонения оси $z$ от $z_0$. Его можно вычислить из ЗСЭ, как это обычно делается в более простой, но аналогичной задаче о максимальном растяжении пружинного маятника.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1348932 писал(а):

что, разве есть моменты сил, которые способны изменить $\omega $? И

Не, это неправильная постановка вопроса. Недооценивать эту задачу не надо, она нетривиальна и ответ нетривиален

[fred1996]

Тогда поясните еще раз по рисунку.
У вас получается, что в начальный момент времени волчок крутится горизонтально. А в бесконечном пределе встает вертикально. Он что, закреплен только за вершину, не ограничиваясь плоскостью $x_0y_0$? То есть может болтаться вокруг вершины "как хочет"?

[pogulyat_vyshel]

Да, он может свободно крутиться вокруг точки подвеса О. Стандартная задача "Волчок Лагранжа"

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

У меня получилось $\omega(1-\frac{1}{2}\frac{B}{A})$, но скорей всего наврал

[pogulyat_vyshel]

Да верно. Это асимптотическое движение упоминается далеко не во всех учебниках

[fred1996]

Правильно ли я понял, что у нас для симметричного волчка есть три интеграла движения и соответственно три неизвестных: начальные $\dot{\theta}$ и $\dot{\psi}$ и конечная $\dot{\varphi}$?

[pogulyat_vyshel]

Интеграла действительно 3. Что касается неизвестных то там ситуация всетаки несколько тоньше, как я понимаю.