2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тождество для однородных многочленов
Сообщение18.10.2018, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4742
Нов-ск
Из чисел $x_1, \dots, x_i$ взяли $j$ штук (не обязательно одинаковых!) и перемножили. Сумму всевозможных таких произведений обозначили $A_i^j$.

Из чисел $x_1, \dots, x_i$ взяли $j$ штук (все разные!) и перемножили. Сумму всевозможных таких произведений обозначили $B_i^j$.

Например,
$A_3^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$
$B_3^2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$
$A_i^0=B_i^0=1$

Верно ли, что
$$\sum_{k=0}^n(-1)^kA_{m+k+1}^{n-k}B_{m+k}^{k}=0, \quad n=1,2, \dots, \quad m=0,1,2, \dots$$

(Оффтоп)

Как подсказка

maxal в сообщении #1249363 писал(а):
Пусть $f(x)$ - унитарный многочлен степени $n$ имеющий $n$ различных корней: $a_1,\dots,a_n$. Докажите, что
$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{n-1}}{f'(a_i)} = 1.$$


Пусть $f(x)$ - унитарный многочлен степени $n$ имеющий $n$ различных корней: $x_1,\dots,x_n$. Докажите, что
$$\sum_{i=1}^n \frac{x_i^{m}}{f'(x_i)} = A_n^{m+1-n}, \quad m+1-n \ge 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество для однородных многочленов
Сообщение19.10.2018, 18:30 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Во-первых, $A$ и $B$ - это классические полные однородные симметрические полиномы и элементарные симметрические полиномы, соответственно.

Во-вторых, указанное тождество можно доказать индукцией по $m+n$. Случай $m+n=1$ (т.е. $m=0$ и $n=1$) тривиален. А далее, если обозначить левую часть тождества как $S(m,n;x_1,x_2,\dots)$, то коэффициент при $x_i^t$ в ней равен
$$S(m-1,n-t;x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\dots)-[t>0]\cdot S(m,n-t;x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\dots}),$$
что по индукции есть 0.

Интересно, как вы получили это тождество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество для однородных многочленов
Сообщение22.10.2018, 07:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4742
Нов-ск
maxal в сообщении #1347738 писал(а):
Интересно, как вы получили это тождество?

Из подсказки следует, что интерполяционный полином в форме Ньютона для функции $x^m$ можно записать в следующем виде (тождество получается)
$$x^m=A_1^m+A_2^{m-1}(x-x_1)+A_3^{m-2}(x-x_1)(x-x_2)+ \cdots + A_{m+1}^{0}(x-x_1)\cdots(x-x_m)$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group