Крендель с дыркой нельзя вырезать из бублика

[gogoshik]

Помогите, плиз, разобраться и довести до ума доказательство утверждения. Мы его устно и быстро разобрали на занятии. Но мне оно показалось не очень понятным и кривым.

Утверждение. Сферу с двумя ручками и дыркой нельзя вырезать из тора.

Для доказательства используем факт того, что любые две несамопересекающиеся замкнутые кривые $(L_{1}, L_{2})$ разбивают тор. Предположим, что сферу с двумя ручками и дыркой (обозначим $Q$) можно вырезать из тора. На $Q$ можно расположить $L_{1}, L_{2}$, чтобы они не разбивали $Q$. Выберем две локально близкие точки с разных сторон $L_{1}$ и две локально близкие точки с разных сторон $L_{1}$. Очевидно, что на $Q$ мы можем соединить каждую пару точек кривыми, которые не будут пересекаться с $L_{1}, L_{2}$. Если бы $Q$ можно вырезать из тора, тогда эти пары точек соединялись бы подобным образом и на торе. Но такое невозможно, так как на торе эти пары точек находятся в разных компонентах связности.

Не понятно, почему это вдруг мы взяли и расположили кривые на $Q$ другим образом? Причем тут была дырка, факт её наличия нигде вроде не использовался?

[g______d]

gogoshik в сообщении #1347110 писал(а):

Причем тут была дырка, факт её наличия нигде вроде не использовался?

Потому что без дырки нельзя по другим причинам: у того, что мы вырезаем, всегда есть край.

gogoshik в сообщении #1347110 писал(а):

Не понятно, почему это вдруг мы взяли и расположили кривые на $Q$ другим образом?

Конкретно этого вопроса я не понял, но если две кривые на $Q$ разбивают тор, то они разбивают и само $Q$. Поэтому для получения противоречия достаточно найти на $Q$ две замкнутые несамопересекающиеся непересекающие кривые, которые $Q$ не разбивают. И вроде бы даже понятно, как их строить: опоясать каждую ручку кривой поперёк.

[gogoshik]

g______d в сообщении #1347116 писал(а):

у того, что мы вырезаем, всегда есть край.

Спасибо, это понял

g______d в сообщении #1347116 писал(а):

Конкретно этого вопроса я не понял, но если две кривые на $Q$ разбивают тор, то они разбивают и само $Q$. Поэтому для получения противоречия достаточно найти на $Q$ две замкнутые несамопересекающиеся непересекающие кривые, которые $Q$ не разбивают. И вроде бы даже понятно, как их строить: опоясать каждую ручку кривой поперёк.

Да, можно по меридианам $Q$ провести две кривые, одну на первой ручке, другую на второй.

Но мы на торе брали две непересекающиеся кривые, нарисованые на поверхности так, что они не опоясовали тор. Или это не важно в данном случае, главное чтобы их объединение разбивало тор?

И еще. Ключевая идея, как я понял, заключается именно в сущестовании точек, которые в одном случае (на торе) будут в разных компонентах, а в другом (на $Q$) в одной компоненте. Т.е. этот пункт обязательный в доказательстве.

[g______d]

gogoshik в сообщении #1347123 писал(а):

Но мы на торе брали две непересекающиеся кривые, нарисованые на поверхности так, что они не опоясовали тор. Или это не важно в данном случае, главное чтобы их объединение разбивало тор?

Две непересекающиеся кривые на торе всегда его разбивают.

[TOTAL]

gogoshik в сообщении #1347110 писал(а):

Утверждение. Сферу с двумя ручками и дыркой нельзя вырезать из тора.

Непонятное утверждение. А из куба можно вырезать? Если да, то сначала из тора вырезаем куб, а потом что надо.

[g______d]

TOTAL в сообщении #1347198 писал(а):

Непонятное утверждение. А из куба можно вырезать? Если да, то сначала из тора вырезаем куб, а потом что надо.

Так тор же двумерный (не полноторие). Как из него вырезать куб? Склеивать же не разрешается.

[TOTAL]

g______d в сообщении #1347206 писал(а):

TOTAL в сообщении #1347198 писал(а):

Непонятное утверждение. А из куба можно вырезать? Если да, то сначала из тора вырезаем куб, а потом что надо.

Так тор же двумерный (не полноторие). Как из него вырезать куб? Склеивать же не разрешается.

Теперь понятно про тор. А что такое сфера с ручками и дыркой?

[g______d]

TOTAL в сообщении #1347207 писал(а):

А что такое сфера с ручками и дыркой?

Сфера с двумя ручками -- это стандартная конструкция (имеется в виду двумерная поверхность на картинке, заранее сорри если я напоминаю тривиальность, которую Вы знаете):

https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)#/media/File:Double_torus_illustration.png

С дыркой -- как я понял, означает, что из этой сферы с двумя ручками выкинули окрестность точки, гомеоморфную открытому диску. Окрестность какой именно точки -- в данном случае не важно.

[gogoshik]

g______d в сообщении #1347127 писал(а):

Две непересекающиеся кривые на торе всегда его разбивают.

Замкнутые кривые.

Ну, так вроде все в остальном понятно. Спасибо.

TOTAL в сообщении #1347198 писал(а):

А из куба можно вырезать? Если да, то сначала из тора вырезаем куб, а потом что надо.

Куб гомотопически эквивалентен сфере. Как Вы из сферы собираетесь вырезать сферу с двумя ручками?

[Grom Hellscream]

gogoshik в сообщении #1347239 писал(а):

Куб гомотопически эквивалентен сфере. Как Вы из сферы собираетесь вырезать сферу с двумя ручками?

А ещё можно добавить, что из тора куб нельзя вырезать.