Ортогональность матрицы Коши

[1r0pb]

Добрый день,
задача следующая:

Если система $\dot{x}=A(t)x$ самосопряжена, $A^\top=-A(t)$, то матрица Коши $X(t)X^{-1}(s)$ ортогональна.

С чего можно(нужно) начать? Имеет ли смысл как-то использовать свойство постоянства скалярного произведения решений исходной и сопряженной систем?

Спасибо.

[pogulyat_vyshel]

убедитесь что функция $u(t)=(X(t)\xi,X(t)\eta)$ постоянна для любых векторов $\xi,\eta$

-- 16.10.2018, 22:55 --

используйте определение фунд. матрицы $\dot X=AX,\quad X(0)=E$

[novichok2018]

Мне не нравится название: матрица Коши, так как есть конкретная матрица с таким названием, коллизия названий.

[1r0pb]

pogulyat_vyshel,
пусть $x(t)=X(t)x(0)$ и $y(t)=Y(t)y(0)$ решения, соответственно, исходной и сопряженной систем.
Так как матрица $A$ самосопряжена, то справедливо принять $y(t)=X(t)y(0)$.
Тогда по свойству постоянства произведения решений $\big( X(t)x(0),X(t)y(0)\big) =\operatorname{const}=\big( x(0),y(0)\big)$, что эквивалентно $x^\top (0)X^\top (t)X(t)y(0)=x^\top (0)y(0)$.
В силу произвольности начальных значений $X^\top (t)X(t)=E$, где $E$ -- единичная матрица. Что и требовалось доказать.

Вроде верно:)

[ewert]

1r0pb в сообщении #1346858 писал(а):

Если система $\dot{x}=A(t)x$ самосопряжена, $A^\top=-A(t)$, то матрица Коши $X(t)X^{-1}(s)$ ортогональна.

Это трудно назвать самосопряжённостью; это, наоборот, антисимметричность. Ну так квадратичная форма антисимметричной матрицы равна нулю, очевидно. После скалярного умножения ДУ на икс в правой части тот самый ноль и выйдет, а в левой выйдет половина производной от квадрата нормы икса. Т.е. норма (евклидова) икса сохраняется, что в точности и означает ортогональность фундаментальной матрицы.

-- Вс окт 21, 2018 14:30:08 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1346863 писал(а):

постоянна для любых векторов $\xi,\eta$

Это избыточно: сохранение скалярных произведений равносильно сохранению норм, и этот факт следует держать в памяти.