дифференцирование неявной функции

[Enne]

Здравствуйте! Очень надеюсь на вашу помощь.
Итак, есть функция $g(x,y,z)= \arctg z + xy^2+xz-y^3-1$ В точке $(0;-1;0)$ $g(x,y,z)=0$, а $g_z=1$; при нахождении первого дифференциала никаких проблем не возникает, да и книжка со мной согласна: $df(0;-1)=-dx+3dy$. Потом надо найти второй дифференциал, книжка гласит: $dg=g_xdx+g_ydy+g_zdz=0$ Дифференцируя второй раз получаем: $d^2g+g_zd^2z=0$ Каким образом?

[bobo]

Насколько я понял, у Вас уравнение $\arctg z + xy^2 +xz - y^3 = 1$ задает неявную функцию $z=z(x,y)$ ( в Вашей постановке точка $(0,-1,0)$ не удовлетворяет равенству $g(x,y,z)=0$). Дифференцируя это уравнение по $x$ и по $y$ находите чему равны $z'_x=f(x,y,z)$ и $z'_y=p(x,y,z)$ в общем виде, затем дифференцируя эти равенства, находите все частные производные 2-го порядка и подставляете в $d^2z = z''_{xx}dx^2+ 2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^2$ (убедитесь, что $z''_{xy} = z''_{yx}$ в данной точке)

Добавлено спустя 12 минут 55 секунд:


А с равенством

Enne писал(а):

$d^2g+g_zd^2z=0$

вроде все нормально, т.к. оба слагаемые равны нулю ( функция g- постоянна, а z - независимая переменная)

[Enne]

в равенстве мне остается непонятным знак.
Действую так:
$z'_x=y^2+1$
$z'_y=2xy-3y^2$ дифференцуруя еще раз, получаем: $z''_{xx}=0$ $z''_{xy}=z''_{yx}=2y$ $z''_{yy}=2x-6y$
попытаюсь записать дифференциал:
$d^2z=0+2*2ydxdy+(2x-6y)dy^2$
все равно, не выходить.

[bobo]

Enne писал(а):

$z'_x=y^2+1$

А у меня вышло $z'_x\frac{1}{1+z^2} + y^2+xz'_x+z=0$...

[Enne]

эт я до такой степени производные не поняла?
мы дифферецируем по x? почему же тогда берется производная от арктангенса...

[bobo]

Потому что $\arctg z=\arctg z(x,y)$ - сложная функция

[Enne]

тогда у меня выходит $z'_x=\frac 1{1+z^2}+y^2+z$ слагаемое $xz'_x$ не вижу

[bobo]

$(\arctg z+xy^2+xz-y^3)'_x=(\arctg z)'_zz'_x+y^2+(xz)'_x=z'_x\frac{1}{1+z^2}+y^2+z'_xx++x'_xz=...$

[Enne]

да, я как раз сама написала
тогда производная по $y$ 2)$( \arctg z+xy^2+xz-y^3)'_y=\frac {z'_y}{1+z^2}+2xy-3y^2+xz'_y$. Теперь надо еще раз продифференцировать.
оба равенства.
1)
$(\frac {z'_x}{1+z^2}+y^2+xz'_x+z)_x=\frac{z''_{xx}(1+z^2)-(1+z^2)_{x}z_x}{(1+z^2)^2}+z_x+z''_{xx}x+z_x; z''_{xx}+2z_x=0$

$(\frac{z'_x}{1+z^2}+y^2+xz'_x+z)_y=\frac{z''_{xy}(1+z^2)-(1+z^2)_{y}z_x}{(1+z^2)^2}+2y+z''_{xy}x+z_y; z''_{yx}-2+z'_y=0$
2)$(\frac {z'_y}{1+z^2}+2xy-3y^2+xz'_y)_x=\frac{z''_{yx}(1+z^2)-(1+z^2)_{x}z_y}{(1+z^2)^2}+2y+xz''_{yx}+z_y$
$(\frac {z'_y}{1+z^2}+2xy-3y^2+xz'_y)_y=\frac{z''_{yy}(1+z^2)-(1+z^2)_{y}z_y}{(1+z^2)^2}+2x-6y+xz''_{yy}; z_{yy}+6=0$

[bobo]

Цитата:

$( \arctg z+xy^2+xz-y^3)'_y=\frac {z'_y}{1+z^2}+2xy-3y^2$.

чего-то еще не хватает...

[Enne]

подкорректировала, посмотрите, пожалуйста.

[bobo]

Поставьте нужные степени знаменателей и подставляйте координаты точки

[Enne]

Так? сейчас это все в дифференциал?
простите, если спрашиваю насчет каждого нового шага, но я чувствую себя слишком неуверенной в этой теме, к сожалению . Хотелось бы разобраться!

[bobo]

Смелее

[Enne]

$d^2z = -2z_xdx^2+(2-z'_y)dxdy-6dy^2$ $z_x(0;-1;0)=-1,z_y(0;-1;0)=3$
$2dx^2-2dxdy-6dy^2$
Ура!
А Вы бы не могли мне объяснить, как составители книжки так быстро перескочили с первого дифференциала на второй, сразу увидев, какие члены исчезнут.