2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение15.10.2018, 18:35 


03/10/06
826
По ссылке https://sites.google.com/site/tpiezas/005 можно прочесть следующее:
5. Form: $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = f^2$
The complete soln is given by the scaled Euler-Aida Ammei identity,
$$((a^2-b^2-c^2-d^2-e^2)t)^2 + (2abt)^2 + (2act)^2 + (2adt)^2 + (2aet)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)t)^2$$

Да вот только не пойму, если этой формулой якобы даются все решения, то какими например должны быть числа a,b,c,d,e,t для равенства
$$16^2 = 13^2 + 7^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2$$
Неужели рациональные нужно подобрать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение15.10.2018, 19:24 


26/08/11
2057
Да, общий множител $t$ - рациональное число, знаменател которого равен НОД всех переменных. Однородных уравнений лучше решать в рациональных чисел. Тогда все эти вопросы отпадают. И параметров меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение15.10.2018, 21:07 


03/10/06
826
t убрать и сумма квадратов должна быть равна 16, а например $2ab = 1$ ? Вопрос вопросов, к чему приравнивать скобку с минусами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение15.10.2018, 23:43 


26/08/11
2057
$a=29,b=7,c=6,d=1,e=1$. В данном порядке.

$t=\dfrac{1}{58}$

Повторяю: или поймите, или забейте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение16.10.2018, 01:09 


03/10/06
826
Четыре числа равны основаниям из суммы квадратов не случайно или случайно? Если к примеру все числа в части суммы квадратов будут взаимно просты, то возможно ли четыре числа из них брать в качестве a,b,c,d,e?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение16.10.2018, 09:25 


03/10/06
826
$$f^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$$
$$f^2 - e^2= a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$
$$(f+e)^2+(f-e)(f+e) = (f+e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$
$$4(f+e)^2f^2 = [(f+e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2]^2$$
$$t = \frac{1}{2(f+e)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение16.10.2018, 09:36 


26/08/11
2057
yk2ru в сообщении #1346587 писал(а):
Четыре числа равны основаниям из суммы квадратов не случайно или случайно?

Не случайно
yk2ru в сообщении #1346587 писал(а):
то возможно ли четыре числа из них брать в качестве a,b,c,d,e?
Брать в качестве $b,c,d,e$
В качестве $a$ брать сумму первого и "левого" (в случае $16+13$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат числа как сумма нескольких квадратов
Сообщение16.10.2018, 11:40 


03/10/06
826
Shadow в сообщении #1346620 писал(а):
качестве $a$ брать сумму первого и "левого" (в случае $16+13$)

Можно и разность взять:
yk2ru в сообщении #1346618 писал(а):
$$f^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$$
$$f^2 - e^2= a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$
$$(f-e)^2+(f-e)(f+e) = (f-e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$
$$4(f-e)^2f^2 = [(f-e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2]^2$$
$$t = \frac{1}{2(f-e)}$$
Чуть подправил выкладки, приведённые выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group