Квадрат числа как сумма нескольких квадратов

[yk2ru]

По ссылке https://sites.google.com/site/tpiezas/005 можно прочесть следующее:
5. Form: $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = f^2$
The complete soln is given by the scaled Euler-Aida Ammei identity,

$$((a^2-b^2-c^2-d^2-e^2)t)^2 + (2abt)^2 + (2act)^2 + (2adt)^2 + (2aet)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)t)^2$$

Да вот только не пойму, если этой формулой якобы даются все решения, то какими например должны быть числа a,b,c,d,e,t для равенства

$$16^2 = 13^2 + 7^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2$$

Неужели рациональные нужно подобрать?

[Shadow]

Да, общий множител $t$ - рациональное число, знаменател которого равен НОД всех переменных. Однородных уравнений лучше решать в рациональных чисел. Тогда все эти вопросы отпадают. И параметров меньше.

[yk2ru]

t убрать и сумма квадратов должна быть равна 16, а например $2ab = 1$ ? Вопрос вопросов, к чему приравнивать скобку с минусами?

[Shadow]

$a=29,b=7,c=6,d=1,e=1$. В данном порядке.

$t=\dfrac{1}{58}$

Повторяю: или поймите, или забейте.

[yk2ru]

Четыре числа равны основаниям из суммы квадратов не случайно или случайно? Если к примеру все числа в части суммы квадратов будут взаимно просты, то возможно ли четыре числа из них брать в качестве a,b,c,d,e?

[yk2ru]

$$f^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$$

$$f^2 - e^2= a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$

$$(f+e)^2+(f-e)(f+e) = (f+e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$

$$4(f+e)^2f^2 = [(f+e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2]^2$$

$$t = \frac{1}{2(f+e)}$$

[Shadow]

yk2ru в сообщении #1346587 писал(а):

Четыре числа равны основаниям из суммы квадратов не случайно или случайно?

Не случайно

yk2ru в сообщении #1346587 писал(а):

то возможно ли четыре числа из них брать в качестве a,b,c,d,e?

Брать в качестве $b,c,d,e$
В качестве $a$ брать сумму первого и "левого" (в случае $16+13$)

[yk2ru]

Shadow в сообщении #1346620 писал(а):

качестве $a$ брать сумму первого и "левого" (в случае $16+13$)

Можно и разность взять:

yk2ru в сообщении #1346618 писал(а):

$$f^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$$

$$f^2 - e^2= a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$

$$(f-e)^2+(f-e)(f+e) = (f-e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$

$$4(f-e)^2f^2 = [(f-e)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2]^2$$

$$t = \frac{1}{2(f-e)}$$

Чуть подправил выкладки, приведённые выше.