Вопрос о коррректности задачи из теории чисел.

[maxmatem]

Всем добрый день.

Возник вопрос по теории чисел.

Пусть нам дана следующая информация о натуральном числе $n$

Известна сумма всех делителей числа $n$ (включая само $n$ и 1)
Также известна сумма обратных чисел к делителям данного числа.

Можно ли однозначно определить натуральное число по этим данным ?

Я пытался использовать сумму делителей и количество делителей но пока ни к чему не пришел.

Решать за меня не надо. Если можно то просто идею.
Заранее спасибо

[mihaild]

Попробуйте выразить сумму чисел, обратных к делителям, через сумму делителей и еще что-то.

[maxmatem]

mihaild
Понял. Попробую. Отпишусь. Спасибо

[Andrey A]

Интересный вопрос. Если $\gcd \left ( \sigma (n),n \right )=1$ достаточно знать сумму обратных величин, но это бывает не всегда. Информация не избыточна. Обратите внимание, что для любой пары множителей $ab=n$ верно $\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{n}$.

[maxmatem]

Я решил чуть проще. Пусть для простоты только три делитель.
Я рассматриваю сумму обратных величин к делителям а именно

$\frac{1} {a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}$

И как из этого выразить сумму делителей?

[mihaild]

Непосредственно из этого не получится - бывают разные числа с равной суммой делителей.
Попробуйте для нескольких чисел выписать сумму делителей и сумму обратных к делителям чисел, и внимательно посмотреть на эти пары.

[maxmatem]

Спасибо.попробую лучше брать двухзначные.
?

[Andrey A]

maxmatem в сообщении #1346521 писал(а):

$\frac{1} {a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}$
И как из этого выразить сумму делителей?

Вы же здесь берете сумму обратных величин не всех делителей $abc$, а только некоторых. И в числителе получаете некоторую частную сумму. А возьмите всех. Ну, если представить что $a,b,c$ - простые.

[mihaild]

Andrey A в сообщении #1346534 писал(а):

Вы же здесь берете сумму обратных величин не всех делителей $abc$, а только некоторых

Так может тут не $abc$ было, может из этих чисел одно $1$, второе простое, а третье - квадрат второго и заодно исходное число.

[grizzly]

maxmatem в сообщении #1346525 писал(а):

?

Попробую ещё я подсказать своим примером. Я не понял с наскоку задачу и просто последовал совету mihaild: взял несколько разных чисел и посмотрел. Брал не буквенные выражения, а самые настоящие числа (натуральные). Поигрался пару минут, не больше и заметил закономерность (я не думаю, что это чистое везение). А тогда уже стало всё понятно.

[Andrey A]

ТС пробует упростить модель и всё равно не доводит опыт до конца. В принципе же, любому $a$ (единица, квадрат или простое) соответствует $b=n/a$. $\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{n}, \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{n},\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{n}$ и так для всех пар $a_i\neq b_i$. Особый случай $a=b$ когда $n$ - целый квадрат. То есть $n=a^2$. Тогда $\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{n}$. Такой делитель участвует слагаемым в сумме один раз, и ничего не нарушается. То есть сумма величин, обратных делителям $n$ (назовем это $\sigma' (n)$) равна $\dfrac{\sigma (n)}{n}$. Еще раз: $\sigma' (n)=\dfrac{\sigma (n)}{n}$. Другое дело, что дробь эта вполне может оказаться сократимой, и по величине знаменателя еще нельзя судить о величине $n$. Но $n=\dfrac{\sigma (n)}{\sigma' (n)}$ выполняется всегда. Задача корректная, карты пришлось раскрыть.

[wrest]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1346541 писал(а):

Я не понял с наскоку задачу и просто последовал совету mihaild: взял несколько разных чисел и посмотрел

И у меня получилось! Красота...

[maxmatem]

Всем спасибо. Взял ручку бумагу и посчитал. Все норм. Спасибо ещё раз