Таблицы Кэли

[tupie_voprosi]

Здравствуйте, глубокоуважаемые участники форума.
Позвольте задать вопрос.
Правильно ли я понимаю, что авторы (Зуланке, Онищик) хотели написать:
$a_{ji}a_{jk}=a_{ik}$, но допустили опечатку?



-- 15.10.2018, 12:40 --

Кажется, их ошибочному определению можно придать смысл, если G будет циклической. Для $a_{ij}$ положим $a_{ij}:=a^{i-j}$, тогда $a_{ij}a_{jk}=a^{i-j}a^{j-k}=a^{i-k}$.
Однако понятие циклической группы они в этом параграфе еще не ввели.

[Slav-27]

tupie_voprosi в сообщении #1346385 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что авторы (Зуланке, Онищик) хотели написать:
$a_{ji}a_{jk}=a_{ik}$, но допустили опечатку?

Если принять это исправление, то все нетривиальные элементы будут порядка 2.

[Munin]

tupie_voprosi в сообщении #1346385 писал(а):

Кажется, их ошибочному определению можно придать смысл, если G будет циклической. Для $a_{ij}$ положим $a_{ij}:=a^{i-j}$, тогда $a_{ij}a_{jk}=a^{i-j}a^{j-k}=a^{i-k}$.
Однако понятие циклической группы они в этом параграфе еще не ввели.

Давайте рассмотрим нециклическую группу порядка 6 - группу симметрий треугольника ($e$ - единица, $r$ - один из поворотов, $s$ - одно из отражений). Штука в том, что рассматриваемая таблица (9) - это не таблица Кэли (произведений элементов), это кое-что другое. Запишем такую таблицу:

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline & e & r & r^2 & s & rs & r^2s \\ \hline e & e & r^2 & r & s & rs & r^2s \\ r & r & e & r^2 & rs & r^2s & s \\ r^2 & r^2 & r & e & r^2s & s & rs \\ s & s & rs & r^2s & e & r^2 & r \\ rs & rs & r^2s & s & r & e & r^2 \\ r^2s& r^2s & s & rs & r^2 & r & e \\ \hline \end{array}$

Проверьте, выполняется ли в этой таблице свойство авторов $a_{ij}a_{jk}=a_{ik},$ и ваше свойство $a_{ji}a_{jk}=a_{ik}.$