Теорема о продолжимости решений ДУ

[1r0pb]

Добрый лень.

Теорема. Пусть при любых $x\in \mathbb{R}^n$ и $t\geq0$ выполняется неравенство

$x\cdot f(x,t)<L(x^2),$

где функция $L(\cdot)$ удовлетворяет условию

$\int_{}^{\infty}L^{-1}(\varphi)d\varphi=\infty.$

Тогда решение $x(t)$ задачи Коши

$\dot{x}=f(x,t),\quad x(0)=x_0$

при любом $x_0\in \mathbb{R}^n$ определено при всех $t\geq 0.$

При доказательстве автор походя замечает то обстоятельство, что "...а в силу $\int_{}^{\infty}\frac{d\varphi}{L(\varphi)}=\infty$ решения $\varphi (t)$ уравнения $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ ограничены при конечном $t$." Для меня этот факт совсем не очевиден... Как это осознать?
Спасибо.

[thething]

Решите уравнение $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ методом разделения переменных (используя интеграл с переменным верхним пределом) и посмотрите, что было бы, если бы была возможность $\varphi\to\infty$.

[Slav-27]

Предположим, вы решаете уравнение $\dot x = v(x)$ с начальным условием $x(0)=0$. Что это значит? Это значит, что вам надо ехать из точки $0$ вдоль вещественной прямой таким образом, чтобы когда вы попадаете в точку $x$, ваша скорость была ровно $v(x)$. Предположим, что скорость $v$ положительна при $x=0$ и растёт с увеличением $x$. Тогда вам придётся ехать в сторону увеличения $x$, причём всё быстрее и быстрее. Если скорость растёт слишком быстро, то вы за конечное время $T$ проедете весь луч $[0,\infty)$, и дальше вам ехать будет некуда; иными словами, решение задачи будет определено только при $0\leqslant t <T$. (Пример: $v(x)=x^2$, или $x^3$, или ещё больше. Решите соответствующую задачу и убедитесь, что вы уедете в бесконечноть за конечное время.)

А ваше условие говорит, что скорость растёт не слишком быстро: если бы она росла слишком быстро, то обратная к ней величина бы быстро убывала и интеграл бы не был бесконечный.

1r0pb в сообщении #1346383 писал(а):

Как это осознать?

Написать решение, переменные же разделяются.

-- 15.10.2018, 14:24 --

Но, кстати, что именно значит эта фраза:

1r0pb в сообщении #1346383 писал(а):

решения $\varphi (t)$ уравнения $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ ограничены при конечном $t$.

-- я не понимаю. Если фиксировать конечное $t$, то $\varphi(t)$ -- это одна точка; в каком смысле она должна быть ограничена? Наверно, имеется в виду ограниченность на каком-то интервале.

-- 15.10.2018, 14:28 --

А может быть, имеется в виду просто "решение существует на отрезке $[0,t]$ для любого конечного $t>0$". В общем, без контекста непонятно.

[thething]

Slav-27 в сообщении #1346402 писал(а):

Наверно, имеется в виду ограниченность на каком-то интервале.

Я понял так: решение $\varphi$ ограничено, если $t$ пробегает ограниченный интервал.

[1r0pb]

thething в сообщении #1346398 писал(а):

Решите уравнение $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ методом разделения переменных (используя интеграл с переменным верхним пределом) и посмотрите, что было бы, если бы была возможность $\varphi\to\infty$.

Цитата:

Написать решение, переменные же разделяются.

thething, Slav-27,
а как его решить, если нет явного вида $L(\cdot)?$

[thething]

А решить -- необязательно явно. До первообразных дойдите, я ж Вам не зря про интеграл с переменным верхним пределом сказал.

[1r0pb]

thething, хм, ну если применить теорему о среднем...
Допустим так: $\int_{t_0}^{t_0+\tau}\frac{d\varphi}{L(\varphi)}=\int_{t_0}^{t_0+\tau}dt=\tau.$

[thething]

А Вы вообще помните\знаете, как записывается первообразная функции $f(x)$ через интеграл с переменным верхним пределом? Если нет, то восполните этот пробел, ибо дальше подсказывать уже некуда, а выкладывание полного решения в этом разделе запрещено.

[ewert]

Фраза "решения $\varphi (t)$ уравнения $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ ограничены при конечном $t$" действительно довольно бессмысленна. Любое решение ограничено на конечном промежутке, а если имелась в виду равномерная ограниченность, независимо от начального условия, то это просто неверно. Видимо, автор пытался сказать, что решение продолжается на всю ось (это действительно обусловлено именно расходимостью интеграла); ну так бы и сказал.

[1r0pb]

thething в сообщении #1346422 писал(а):

А Вы вообще помните\знаете, как записывается первообразная функции $f(x)$ через интеграл с переменным верхним пределом? Если нет, то восполните этот пробел, ибо дальше подсказывать уже некуда, а выкладывание полного решения в этом разделе запрещено.

$F(t_0+\tau)-F(t_0)=\tau\Rightarrow F'(t_0)=1 \Leftrightarrow L(\varphi(t_0))=1.$
Все равно пока темный лес...

[thething]

1r0pb в сообщении #1346424 писал(а):

Все равно пока темный лес...

Ну так обратитесь к учебнику, к википедии, к гуглу, а то вот это

1r0pb в сообщении #1346383 писал(а):

Добрый лень.

перестаёт уже казаться опечаткой.

[pogulyat_vyshel]

Экий затейник автор этого учебника. Ну домножаем скалярно левую и правую часть уравнения $\dot x=f(x,t)$ на $x$. Получаем

$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|x\|^2= x\cdot f(x,t)\le L(\|x\|^2)$$

Априорная оценка готова. А на первый взгляд может показаться, что что-то нетривиальное написано :)

[1r0pb]

Мда...
$t-t_0=\int_{t_0}^{t}\frac{\varphi'(t)dt}{L(\varphi(t))}=\int_{\varphi_0}^{\varphi(t)}\frac{d\varphi}{L(\varphi)}.$

[thething]

Только не следует использовать под интегралом ту же самую букву, что и в верхнем пределе. Ну и посмотрите, что происходит, если, к примеру, $t\to\infty$. При любом конечном $t$..