Помогите найти предел последовательности!

[Omrib1]

Нужно доказать существование предела и найти его:
$x_{n}=\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+...+(n-1) \sqrt{n+1}}}}$

Я смог доказать ограниченность с помощью такого представления:
$n+1=\sqrt{1+n (n+2)}=\sqrt{1+n \sqrt{1+(n+1)(n+3)}}=...$
Для n=2:
$3=\sqrt{1+2 \sqrt{1+ 3 \sqrt{1+...}}}$
Тогда очевидно, что:
$0<x_{n}<\sqrt{1+2 \sqrt{1+ 3 \sqrt{1+...+(n-1)(n+1)}}}=3$
То есть последовательность ограничена, а значит имеет предел, так как возрастает, и, видимо, стремится к 3. Но не могу доказать, что этот предел равен 3.

-- 15.10.2018, 00:14 --



-- 15.10.2018, 00:15 --

[thething]

Макаров, Голузина, Лодкин, Подкорытов. Избранные задачи по вещественному анализу. Пример II.1.20 а.