Уравнение в рациональных числах высокой степени

[Shadow]

hund, на этой эллиптической кривой - к которой сводится уравнение в начале. Я написал несколько решений (только $m>1$), тупо удваивая предыдущую. Если Вам мало, могу еще.

(Оффтоп)

А вы написали формулу окружности

[Deggial]

hund заблокирован как клон atlakatl

[Евгений Машеров]

Можно уточнить постановку? А то сейчас выглядит малость тривиально. Уравнение 4 степени, имеет 4 корня. Нужны только рациональные и большие единицы, то есть за вычетом комплексных, действительных меньше единицы и действительных иррациональных их может быть меньше 4, даже если учитывать кратные. Но 0, 1, 2, 3, 4 - всё конечные числа (где моя фуражка прапорщика Ясненько?). То есть доказывать надо, что есть (при заданном a) хотя бы один такой корень, или что их при данном a нет, но не конечность их общего числа, она очевидна (правда, товарищ капитан?)

-- 13 окт 2018, 07:45 --

Если нужен ответ для известного a - уравнение возвратное, решение сводится к решению двух квадратных, проверить, допустимы ли корни в смысле рациональные больше единицы легко. Или пропущена какая-то операция наподобие взятия модуля и т.п.?

[versham]

Shadow
Но ведь у нас не эллиптическая кривая (степень $4$). Как вы на ней удваиваете точки?

Евгений Машеров
Для заданного $a$, конечно, количество подходящих решений будет не больше $4$. Но $a$ может быть любым рациональным (а их уже бесконечно много). И тогда, кажется нетривиальным то, что кол-во всех решений конечно.

Вообще, у этой кривой степень $4$ и нет особых точек. Из этого следует (теорема Фальтингса), что рациональных точек на ней конечно, так ведь?

[scwec]

Данная кривая имеет род 1 и является эллиптической. То, что пишет Shadow, верно.

[Shadow]

versham Заменой более привычных переменных $m=x,a=3x^2-6x+y$ уравнение сводится к

$y^2+6x^2y+14x^2-12xy-36x-9=0$, а это уже эллиптическая кривая. (другой заменой можно свести к каноническому виду, но это неважно).
Школьными методами, данное уравнение можно рассматривать как квадратное и относительно x, и относительно y.
Причем, если есть какое-то "начальное" решение $(x_1,y_1)$ то, по формулам Виета, можно найти и $(x_2,y_1)$, а потом $(x_2,y_2)$ - тоже рациональные решения

$x_2=\dfrac{y_1^2-9}{2(3y_1+7)x_1}$

$y_2=-6(x_2^2-2x_2)-y_1$

Так, начиная с напр. $x_1=2,y_1=5$ получим рекуррентно бесконечуню серию решений $x_n,y_n$ (подчеркнутое доказывать не буду, потому что не хочу), где $x_n$ вообще не ограничено ни сверху, ни снизу. (навскидку)

Так что утверждение (конечное число решений при $m=x_n>1$) вряд ли верно.
И что решаем непонятно.

[versham]

scwec
Да, вы правы. Видимо, я не понимаю как вычислять род кривой. Верно, что род равен

\[g=\frac{(n-1)(n-2)}{2}-r\]

где $r$ - число особых точек?

[scwec]

Формула верная, только $r$ - число особых точек, если все они обыкновенные двойные особые точки.
А если есть другие, то они добавляются как-то в счет двойных. Про классификацию особых точек посмотрите в учебнике по алгебраической геометрии, а если нет желания в этом разбираться, что вполне понятно, то воспользуйтесь, например, Maple и функцией genus(f,x,y) в нем. Сразу ответ без особых затрат.

[versham]

Насколько я понимаю, точка $M(x_0; y_0)$ считается особой, если

\[ (\frac{\partial F}{\partial x})_0=0 \]

и

\[ (\frac{\partial F}{\partial y})_0=0\]

где $F(x, y)$ - это многочлен, задающий кривую.

То есть в нашем случае,

\[ (\frac{\partial F}{\partial a})_0=2a_0=0 \]

то есть в особых точках должно быть $a=0$, а на нашей кривой таких точек нет. В чем ошибка?

[scwec]

Ошибки нет. Ваша кривая без особенностей. На ней имеется рациональная точка $(0,3)$ и кривая бирационально эквивалентна некоторой эллиптической кривой третьего порядка, сл-но, имеет род 1.
Так что лобовое применение формулы для рода, в том виде, в каком она написана, видимо, не всегда возможно.
Скорее всего тут вот что. Надо рассмотреть класс кривых бирационально эквивалентных $f(x,y)=0$.
Пусть наименьшая степень кривых из этого класса равна $n$.
В формуле для рода кривой $f(x,y)=0$ используется именно эта степень.

[scwec]

Возможно, будет интересно.
Заменим в исходном уравнении свободный член $9$ на любое целое число $N$.
Полученное уравнение имеет рациональные решения бесконечного порядка,
одно из них

m=(1/72)*(11421*N^2+729*N^3-38853*N-908209)/(81*N^2+414*N-8687)
a=(1/1728)*(-129336993*N^4-1555968852*N^3+14798141343*N^2+8148762*N^5+82336213530*N-695579794127+531441*N^6)/(6561*N^4+67068*N^3-1235898*N^2-7192836*N+75463969)

и складывая точки на соответствующей эллиптической кривой получим бесконечное множество рациональных решений для уравнения с любым целым $N$.