Не развертывая определитель, доказать тождество

[andreyka]

Не развертывая определитель, доказать тождество. Надо использовать свойства определителя.

$\begin{vmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ca\\ 1 & c & ab \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$

Получилось только свести к определителю второго порядка, вычитая первую строку из второй и третьей.

$\begin{vmatrix} 1 & a & bc\\ 0 & b-a & c(a-b)\\ 0 & c-a & b(a-c) \end{vmatrix} = b(b-a)(a-c) - c(a-b)(c-a) = (b-a)(c-a)(c-b)$

Еще такое тождество доказать надо

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^3\\ 1 & b & b^3\\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix} = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$

Ничего, кроме способа из предыдущего примера, в голову не приходит.

Есть какой-то другой способ без сведения к определителю второго порядка?

[Markiyan Hirnyk]

Если $a=b$, то первые две строки совпадают и определитель равен нулю.

[andreyka]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1345567 писал(а):

Если $a=b$, то первые две строки совпадают и определитель равен нулю.

Да, и как это поможет.

[DeBill]

andreyka в сообщении #1345575 писал(а):

Да, и как это поможет.

Ну как это -"как?" Определитель - многочлен (от$a$, например), у которого есть корень $a=b$... И?

[andreyka]

DeBill в сообщении #1345579 писал(а):

andreyka в сообщении #1345575 писал(а):

Да, и как это поможет.

Ну как это -"как?" Определитель - многочлен (от$a$, например), у которого есть корень $a=b$... И?

Определитель имеет вид $(a-b)q(a)$, где $q$ какой-то полином от $a$. И?

[Sonic86]

andreyka в сообщении #1345586 писал(а):

Определитель имеет вид $(a-b)q(a)$, где $q$ какой-то полином от $a$. И?

Какая у него степень?
А симметрию переменных видите? Усильте этот аргумент с помощью симметрии.

[andreyka]

Пусть определитель равен $D(a,b,c)$. По каждой переменной степень не больше 2.

$D(b,b,c)=0$, поэтому $D(a,b,c) = (a-b)q(a,b,c)$.

$0 = D(c,b,c) = (c-b)q(c,b,c)$.

Пусть $c\ne b$. Тогда $q(c,b,c) = 0$ и $q(a,b,c) = (a-c)q_2(a,b,c)$.

Следовательно, $D(a,b,c) = (a-b)(a-c)q_2(a,b,c) = (a-b)(a-c)q_2(b,c)$.

$q_2(b,c) $ не зависит от $a$ и его степень по переменной $b$ не больше 1.

$0 = D(a,b,b) = (a-b)(a-b)q_2(b,b)$.

Пусть $a\ne b$. Тогда $q_2(b,c) = (b-c)$.

Смущают условия $c\ne b$ и $a\ne b$. Путаюсь, что и когда считать параметрами, а что переменными полинома. Может, изначально считать, что $a,b,c$ попарно различные

[Someone]

andreyka, что-то Вы сильно мудрите. Вот в первом сообщении Вы сделали преобразования, после которых вторая строка делится на $b-a$, а третья — на $c-a$. Вынесем эти множители за знак определителя. Посмотрим на то, что осталось.

[alcoholist]

andreyka в сообщении #1345592 писал(а):

$D(b,b,c)=0$, поэтому $D(a,b,c) = (a-b)q(a,b,c)$

Но при всех $a$ имеем $D(a,b,b) = (a-b)q(a,b,b)=0$, поэтому $D(a,b,c) = (a-b)(b-c)p(a,b,c)$.
Но при всех $b$ имеем $D(c,b,c) =-(b-c)^2p(c,b,c)=0$, поэтому $D(a,b,c) = (a-b)(b-c)(c-a)r(a,b,c)$.
Осталось показать, что $r(a,b,c)=1$.