2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать теорему про собственные значения
Сообщение25.03.2008, 16:15 
Подскажите пожалуйста как доказать теорему:
B*A = B*C

где A - квадратная матрица
B - диагональная матрица из СЧ матрицы А
C - матрица, строки которой - собственные вектора, соответствующие СЧ из матрицы B

 
 
 
 Re: Доказать теорему про собственные значения
Сообщение25.03.2008, 16:22 
Аватара пользователя
Rjukan писал(а):
Подскажите пожалуйста как доказать теорему:
B*A = B*C

где A - квадратная матрица
B - диагональная матрица из СЧ матрицы А
C - матрица, строки которой - собственные вектора, соответствующие СЧ из матрицы B

Проверьте условие.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 16:42 
Аватара пользователя
Дело в том, что каждому собственному значению соответствует континуум собственных векторов, отличающихся друг от друга постоянным множителем. Если $Ax=\lambda x$, то для любого $\alpha$ верно $A\alpha x=\lambda\alpha x$. Поэтому матрица $C$ у вас не является однозначно определенной. В то же время матрицы в левой части определены однозначно.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 17:02 
Аватара пользователя
Бодигрим писал(а):
Дело в том, что каждому собственному значению соответствует континуум собственных векторов...


Не обязательно континуум. Всё зависит от того, над каким полем матрицы рассматриваются.

Хотя если над $\mathbb{R}$ или над $\mathbb{C}$, то действительно континуум.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 17:04 
Аватара пользователя
Бодигрим писал(а):
Дело в том, что каждому собственному значению соответствует континуум собственных векторов, отличающихся друг от друга постоянным множителем.
Они могут отличаться гораздо сильнее.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 17:10 
вот-вот, чувствую что где то не прав... мне надо проверить результат программы, находящей собственные числа и вектора. Сначала я проверял исходя из определения собств вектора - проверял равенство
Ax = lx, где x - собств. вектор, а l-соотв. ему собственное число. Эти проверки прошли.

Потом решил проверить равенство матриц, о которых написал в теореме, равенство не получил... Т.е это закономерный результат? И чем эти матрицы отличаются - множителем или более кардинально?

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 17:24 
Аватара пользователя
Rjukan писал(а):
вот-вот, чувствую что где то не прав... мне надо проверить результат программы, находящей собственные числа и вектора. Сначала я проверял исходя из определения собств вектора - проверял равенство
Ax = lx, где x - собств. вектор, а l-соотв. ему собственное число. Эти проверки прошли.


И зачем тогда Вам после этого ещё что-то понадобилось?

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 17:34 
Аватара пользователя
Цитата:
Не обязательно континуум. Всё зависит от того, над каким полем матрицы рассматриваются.

Цитата:
Они могут отличаться гораздо сильнее.

Да, я в курсе. Просто описывал наиболее стандартный случай.
Цитата:
Т.е это закономерный результат? И чем эти матрицы отличаются - множителем или более кардинально?

Закономерный. Кардинально. С чего вы взяли, что подобное равенство вообще должно выполняться?

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 18:01 
Аватара пользователя
Ой, да бросьте изгаляться-то. Как будто не видите, что у него просто опечатка в матричном равенстве?
А как её исправить уже будет зависеть - будет он настаивать на строчной записи векторов или согласится перейти на столбцовую. К уточнению формулировки можно перейти позже.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 19:33 
Профессор Снэйп писал(а):
И зачем тогда Вам после этого ещё что-то понадобилось?

хотел по разнице матриц в целом оценить точность решения, для всех найденных СЧ, так как проверка каждого СЧ по отдельности даст ошибку только для него. Поэтому и хотел получить некоторое матричное равенство, куда можно бы было подставить найденные значения. Если кто подскажет такое, буду благодарен :)

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

bot писал(а):
Ой, да бросьте изгаляться-то. Как будто не видите, что у него просто опечатка в матричном равенстве?
А как её исправить уже будет зависеть - будет он настаивать на строчной записи векторов или согласится перейти на столбцовую. К уточнению формулировки можно перейти позже.

а в чем опечатка? Согласен на любую форму записи для корректной записи матричного равенства!

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 19:50 
Аватара пользователя
:evil:

$A C = C B$

 
 
 
 
Сообщение25.03.2008, 21:01 
Аватара пользователя
Между прочим, матрица $B$ может и не быть диагональной.

 
 
 
 
Сообщение26.03.2008, 06:55 
Аватара пользователя
Вы бы ещё про жорданову форму сказали, которая по убеждению одного академика, никому не нужна - "кратных корней в природе не бывает". Скорее всего их и у автора нет - он же просто свои вычисления проверить хочет. Как он это сделает без разницы - просто каждый собственный вектор проверит или матрицы перемножит, но для последнего ему нужно верное матричное равенство.

незваный гость писал(а):
:evil:
$A C = C B$

Это, если автор согласен пользоваться столбцовой записью векторов, в противном случае множители надо переставить.

Как он из этого хочет получить степень удовлетворённости своими вычислениями, если любой из СВ можно растянуть - остаётся загадкой.

 
 
 
 
Сообщение26.03.2008, 14:22 
незваный гость писал(а):
:evil:

$A C = C B$


то что доктор прописал! Большое спасибо! :o
У меня вектора, соответствующие СЧ, не растянутые, поэтому равенство выполняется.

 
 
 
 
Сообщение26.03.2008, 22:23 
Аватара пользователя
Цитата:
У меня вектора, соответствующие СЧ, не растянутые

Простите, а что такое нерастянутый собственный вектор?

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group