Задача про лыжников

[gogoshik]

Прошу помочь, плиз, с решением таких задач. Вроде все очевидно, но я не могу придумать что-то приемлемое.

Задача.
Случай 1. Из одной точки стартовали два лыжника: первый побежал на север, второй на восток. Оба они прибежали в точку старта: первый (впервые) с юга, второй с запада.
Случай 2. Из одной точки стартовали три лыжника: первый побежал на запад, второй на север и третий на восток. Все они прибежали в другую точку: первый с запада, второй с севера и третий с востока.
Нужно доказать, что в обоих случаях один из лыжников пересекал лыжню другого.

Перед задачей приведена лемма о пересечении.
Лемма. Любые две ломанные в квадрате, соединяющие его противоположные вершины, пересекаются.

Ну, допустим, траектории движения лыжников будут ломанными. И мы можем как-то "уложить" или "вписать" траектории в квадрат таким образом, как того требует лемма (я не догадался пока как). Тогда воспользуемся леммой.

[mihaild]

Во втором случае, кажется, каждый лыжник мог сделать небольшую петлю и не пересечь чужие траектории?
В первом случае - попробуйте как-то склеить квадрат, чтобы траектории север-юг и запад-восток как раз соответствовали противоположным вершинам.

[Shadow]

(Оффтоп)

На этой планете, видать, нету мосты и тоннели.

[Pphantom]

(Оффтоп)

Эта планета круглая, так что даже мосты с тоннелями не нужны.

[mihaild]

(Оффтоп)

А кто сказал, что они ни разу не поворачивали? А чтобы это сказать, нужно вводить глобальное направление, что выглядит слишком сложным для этой задачи.

[grizzly]

mihaild в сообщении #1343872 писал(а):

Во втором случае, кажется, каждый лыжник мог сделать небольшую петлю и не пересечь чужие траектории?

Это если бы вторая точка совпадала с первой. А если точки разные, то вряд ли можно не пересечь.

[mihaild]

А, я не заметил, что точка другая

[azmt]

По первой задаче. Возьмем квадрат АВСD. Точку С (центр квадрата ) примем за точку старта. Повернем квадрат на 45 градусов вокруг точки С. Соответствующие противоположные вершины примем за полюсы. Далее решение следует из леммы. Вроде приемлемо.

[grizzly]

azmt в сообщении #1343953 писал(а):

Возьмем квадрат АВСD. Точку С (центр квадрата ) примем за точку старта. Повернем квадрат на 45 градусов вокруг точки С. Соответствующие противоположные вершины примем за полюсы. Далее решение следует из леммы.

В этом решении все слова, кроме последний четырёх просто лишние, если не сильно придираться. А если придираться, то вращать квадрат, про изначальную ориентацию которого ничего не известно, просто нет смысла.

[gogoshik]

azmt в сообщении #1343953 писал(а):

Возьмем квадрат АВСD. Точку С (центр квадрата ) примем за точку старта.

Странно, почему в Вашем квадрате точка С -- центр?

-- 06.10.2018, 13:59 --

mihaild в сообщении #1343872 писал(а):

В первом случае - попробуйте как-то склеить квадрат, чтобы траектории север-юг и запад-восток как раз соответствовали противоположным вершинам.

Спасибо.

Рассмотрим квадрат $ABCD$, вершины расположены против часовой стрелки. Из квадрата склейкой смежных сторон ($AB$ склеим с $DA$, $BC$ склеим с $CD$) получим сферу (может аккуратнее будет сказать, фигуру гомеоморфную сфере). Тогда пусть вершины квадрата на сфере будут соответствовать полюсам: $A$ -- Запад, $C$ -- Восток, $B=D$ -- Север, а центр квадрата будет Юг. Всевозможным положениям лыжников будут соответствовать точки квадрата или сферы. Всякое движение первого лыжника можно изобразить линиями (траекториями) идущими в направлении от левого нижнего угла квадрата к верхнему правому. Всякое движение второго лыжника можно изобразить линиями (траекторией) идущими в направлении от верхнего левого угла квадрата к нижнему правому. Таким образом всегда найдется пара линий соединяющие противоположные углы (вершины) квадрата, которые будут пересекаться.

Это можно (нужно ли?) еще все нарисовать на квадрате, т.е. изобразить соответствующие ориентированные наборы линий (траекторий). Будет видно, что какую бы точку квадрата мы ни выбрали, то двигаясь по линиям в направлении ориентации, мы всегда будем пересекать противоположный набор линий.

Может как то так?

[azmt]

gogoshik в сообщении #1343966 писал(а):

Странно, почему в Вашем квадрате точка С -- центр?

Да ошибся. Пусть будет точка Т например.