Секретное число Незнайки

[Ktina]

Незнайка утверждает, что знает некое секретное число. Это такое натуральное число, что если прибавить его к факториалу любого натурального числа, то в сумме получится составное число.
Чего Незнайка не знал, так это того, что на самом деле таких секретных чисел бесконечно много (наименьшее из них равно 8). Поэтому Зайка предложил Незнайке классифицировать все секретные числа по уровню их секретности.

Итак, назовём натуральное число $k-$секретным, если, во-вторых, при сложении этого числа с факториалом любого натурального числа в сумме получается число, имеющее не менее $k$ делителей; а во-первых, существует такой факториал натурального числа, что при его сложении с $k-$секретным числом в сумме получается число, у которого ровно $k$ делителей.

Например, число 8 является наименьшим 3-секретным числом, а число 14 является наименьшим 4-секретным числом.

А вот найти вручную наименьшее 5-секретное число, кажется, уже не удаётся.
Пожалуйста, помогите его найти!
А заодно и числа более высокой секретности.

[Dmitriy40]

Да уж, руками его найти трудновато, даже если перебирать лишь степени простых.
Вот несколько первых секретных чисел:

k=3:8
k=4:14
k=5:130320
k=6:174
k=7:15624
k=8:664
k=9:17688
k=10:20768
k=11:9765624
k=12:7104
k=13:?
k=14:151744
k=15:1155624
k=16:28104
k=17:?
k=18:1113804
k=19:?
k=20:385824

Для k=13,17,19 число скорее всего намного больше 10 миллионов.
Интересно что для k=10,14,18,20 ровно k делителей не при 1!.

[Ktina]

Dmitriy40
Большое спасибо!

-- 02.10.2018, 01:32 --

И почему этой последовательности нет в OEIS?

[Dmitriy40]

Про числа для k>10 я не на 100% уверен в правильности, проверял лишь первые 20 факториалов, мог что-то и пропустить, если ровно k делителей вдруг встретится лишь при ещё большем факториале (а думать над доказательством лень).

-- 02.10.2018, 02:49 --

Возможные решения, не факт что минимальные, но очень вероятно:
$k=13:\,11^{12}-1$
$k=17:\,31^{16}-1$
$k=19:\,5^{18}-1$