Сопряженные векторные пространства

[fkortv]

Здравствуйте, вопрос следующий:
есть два базиса левых и правых собственных векторов матрицы три на три, я ортонормировала каждый из них методом Гамма-Шмидта. Но получается, что условие ортогональности двух базисов не выполняется. В задании нужно непосредственной проверкой убедится, что условие сопряженности выполнено. Как ортономировать так чтобы условие выполнялось? И вообще не совсем понятно зачем, ведь если базис нормирован, то ведь он является взаимным самому себе. Или это не так?

[Slav-27]

Не очень понятно, что вы спрашиваете.

fkortv в сообщении #1342970 писал(а):

есть два базиса левых и правых собственных векторов матрицы три на три, я ортонормировала каждый из них методом Гамма-Шмидта

Ну допустим.

fkortv в сообщении #1342970 писал(а):

условие ортогональности двух базисов

Что это такое?

fkortv в сообщении #1342970 писал(а):

В задании нужно непосредственной проверкой убедится, что условие сопряженности выполнено.

А это что за условие?

Возможно, имеет смысл привести условие вашей задачи дословно.

[Munin]

А разве после ортонормализации методом Грама-Шмидта базис не перестаёт быть базисом собственных векторов?

[g______d]

Munin в сообщении #1342995 писал(а):

А разве после ортонормализации методом Грама-Шмидта базис не перестаёт быть базисом собственных векторов?

Проверьте на примере матрицы $\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$.

А, сорри, я неправильно прочитал вопрос.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1342995 писал(а):

А разве после ортонормализации методом Грама-Шмидта базис не перестаёт быть базисом собственных векторов?

Может быть, оператор симметрический?

[fkortv]

Всем спасибо, ответ на вопрос получила у преподавателя, но осталось не понятно почему так. Повторюсь, наверно еще раз. Было две матрицы левых и правых собственных векторов матрицы три на три. Задача была проверить являются ли они сопряженными. Я думала, что для того чтобы выполнялось это условие и чтобы проверить его нужно, чтобы матрицы были ортонормированными. Те все вектора у них были перпендикулярны между собой внутри каждой отдельной матрицы. Оказалось, что это не обязательно должно быть так, чтобы два базиса (в моем случае матрицы левых и правых векторов) были сопряженными (те когда перемножаю вектора матриц левых векторов на правые вектора выполняется условие ортогональности). Так вот, мне не понятно почему внутри матриц вектора не должны(или могут быть и тогда в каком случае) быть ортонормированы? Может быть кто-то поможет разобраться. Заранее спасибо.

[alcoholist]

fkortv в сообщении #1346156 писал(а):

Так вот, мне не понятно почему внутри матриц вектора не должны(или могут быть и тогда в каком случае) быть ортонормированы?

Условие сопряженности матриц (это условие на пару матриц) никак не может следовать из ортогональности строк/столбцов каждой из матриц (это условия на каждую из матриц по отдельности).
И еще... Собственные вектора не обязательно ортогональны. Вот как у матрицы

g______d в сообщении #1343012 писал(а):

$\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$