ранг блочной матрицы

[Andrey_Kireew]

Имеется блочная матрица

$$M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$

верно ли, что $rank(M)=rank(A)+rank(D)$?

[Lia]

Верно.
А, сорри, сослепу ноль вместо $C$ показался.
Неверно, конечно.

[Andrey_Kireew]

А верно ли, что если $A$ и $D$ имеют полный ранг, то и $M$ будет невырожденной?
То, что это необходимо - очевидно, но достаточно ли?

[Lia]

Нет, не не достаточно. И не необходимо.

-- 01.10.2018, 11:35 --

Вы или какие-то условия неявно подразумеваете, или еще что, раз у Вас такое получается.

[Andrey_Kireew]

Можно расписать так:

$$M^{-1}=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}+A^{-1}BH^{-1}CA^{-1}& -A^{-1}BH^{-1} \\ -H^{-1}CA^{-1} & H^{-1} \end{pmatrix},$$

$H=D-CA^{-1}B$

чтобы $M$ была невырожденной, так или иначе нужно обратить $A$ и $H$,

$(D-CA^{-1}B)^{-1}=D^{-1}-D^{-1}C(A+BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1}$,
следовательно - нужно обратить $D$

Так, что если $A$ и $D$ обратимы, то $M$ можно вычислить, следовательно - у неё будет полный ранг.

[Lia]

Andrey_Kireew в сообщении #1342949 писал(а):

Так, что если $A$ и $D$ обратимы, то $M$ можно вычислить, следовательно - у неё будет полный ранг.

Давайте я не буду проверять, а проверите Вы.
$M=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$
Что ломается в Ваших рассуждениях?

[Andrey_Kireew]

Пока ничего не ломается:
здесь получается $H=0$, это доказывает, что невырожденности $A$ и $B$ недостаточно для невырожденности $M$, но это не опровергает необходимости этого.

[grizzly]

Andrey_Kireew в сообщении #1342956 писал(а):

Пока ничего не ломается:

А Вы обратили внимание к какой цитате был этот пример?

Andrey_Kireew в сообщении #1342956 писал(а):

это доказывает, что невырожденности $A$ и $B$ недостаточно для невырожденности $M$, но это не опровергает необходимости этого.

Раньше речь шла про $A$ и $D$. И что если в последнем примере эти $A$ и $D$ взять нулями?

[Andrey_Kireew]

Да уж ... Одно расстройство.

[Евгений Машеров]

Andrey_Kireew в сообщении #1342940 писал(а):

$$M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$

$M=\begin{pmatrix} A & D \\ A & D \end{pmatrix}$

-- 01 окт 2018, 12:40 --

Andrey_Kireew в сообщении #1342946 писал(а):

То, что это необходимо - очевидно, но достаточно ли?

$M=\begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix}$