2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение30.09.2018, 00:16 
Аватара пользователя
Докажите, что в последовательности
$$14^2+1,\quad 24^2+1,\quad 34^2+1,\quad 54^2+1,\quad 84^2+1,\quad\dots$$ бесконечно много составных чисел.

Последовательность строится так: к очередному числу Фибоначчи приписывается справа четвёрка, затем вся эта конструкция возводится в квадрат и увеличивается на 1.

 
 
 
 Re: Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение30.09.2018, 10:12 
Аватара пользователя
Если раскрыть скобки, то можно сразу предположить кандидата в делители. И он выигрывает гонку!

 
 
 
 Re: Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение30.09.2018, 10:27 
Аватара пользователя
gris
Не совсем понимаю. Разве среди чисел Фибоначчи бесконечно много, например, кубов?

 
 
 
 Re: Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение30.09.2018, 10:41 
Аватара пользователя
Если мы напишем формулу для нашей последовательности в виде $k_n=(10\cdot f_n+4)^2+1$ и предположим, что в искомой бесконечной подпоследовательности составных чисел есть подподпоследовательность чисел, кратных некоторому конкретному числу, то можем предположить, что это за число, а потом немного утомительным арифмостом подтвердить предположение. Скорее всего, есть более красивое и короткое рассуждение. А кубы как бы и не при делах вовсе.

 
 
 
 Re: Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение01.10.2018, 17:06 
Аватара пользователя
$f_9$ делится на $17$, а, значит, и $f_{18},f_{36},f_{72}\ldots$, а это уже достаточно бесконечно много :-)

 
 
 
 Re: Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение01.10.2018, 20:35 
Аватара пользователя
А... просто $f_{9k}$ тоже подойдёт

-- 01.10.2018, 21:34 --

А вот еще: минимально возможный простой делитель у членов этой серии - $13$, и делятся на него констрюкции с номерами $28k+4$ и $28k+10$ (при нумерации с нуля, $f_0=0,f_1=1,\ldots$)

 
 
 
 Re: Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных
Сообщение01.10.2018, 22:27 
Аватара пользователя
gris
waxtep
Большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group