Доверительный интервал параметра биномиального распределения

[PAV]

Почитайте ссылку, которую привел GAA, или любой другой материал "Интервальная оценка вероятности успеха в схеме Бернулли"

[Nephi]

Добавлено спустя 1 час 9 минут 54 секунды:

В книге ван дер Вардена нашла какую-то километровую формулу. Похоже на формулу для приближенного вычисления интеграла Ф. Больше ничего не нашла. В полной растерянности

[PAV]

В лекциях, ссылку на которые приводил GAA, этот вопрос разбирается.

[mj_rus]

определенте доверительного интервала для случайной величины имеюший биномиальное распределение

кто что знает, пожалуйста помогите, завтра отвечать нужно!

[GAA]

Об асимптотически доверительном интервале см. указанные выше лекции И.Н. Володина и книгу А.Н. Ширяева, о точном интервале — книгу Ван дер Вардена.
Обозначим оценку параметра $p$ через $p^*$, т.е. $p^* = m/n$, где $m$ — количество испытаний, в которых событие наступило,$n$ — объем выборки. Интервал асимтотического уровня $1-\epsilon$ [приближенный интервал уровня $1-\epsilon$] имеет вид
$\left( p^* - c \sqrt{p^*(1-p^*)/n}, p^* + c\sqrt{p^*(1-p^*)/n} \right)$,
где $c = \Phi^{-1}(1-\epsilon/2)$, $\Phi(x)$ — функция стандартного нормального распределения, $\Phi^{-1}(x)$ — обратная к функции стандартного нормального распределения.

[Someone]

Очень редко сталкиваюсь с математической статистикой, а тут задачка попалась. В имеющейся у меня литературе ничего похожего не нашёл.
В урне лежат $N$ шаров, из них $M$ белых. Без возвращения извлечены $n$ шаров, среди которых оказалось $m$ белых (числа $N$, $n$, $m$ известны). Требуется найти доверительный интервал для величины $M$, накрывающий её с заданной вероятностью $\gamma$.
Предполагается, что $N$ - порядка 50-100 тысяч, $n$ - порядка 500-1500, $m$ - несколько сотен.

Порекомендуйте что-нибудь.

[ewert]

Ну у Вас, если я правильно понял, извлекается порядка процента всех шаров. В этой ситуации, скорее всего, надо просто перейти к распределению Бернулли и к нормальной аппроксимации для него (если только количества вынутых чёрных и белых шаров хоть более-менее одного порядка).

[Someone]

Здесь законно будет построить доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли, а потом просто умножить его границы на $N$?

ewert в сообщении #472197 писал(а):

если только количества вынутых чёрных и белых шаров хоть более-менее одного порядка

Различаются в 2-5 раз, так что примерно одного порядка.

[GAA]

Someone в сообщении #472200 писал(а):

Здесь законно будет построить доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли, а потом просто умножить его границы на $N$?

Да, только интервал имеет смысл строить --- асимптотический. Уже была такая тема.

-- Sat 30.07.2011 20:17:08 --

Someone, слить темы?

[Someone]

ewert, GAA, спасибо за консультацию.

GAA в сообщении #472263 писал(а):

слить темы?

Можно.

// 31.07.11 темы соединены. / GAA

[Александрович]

Nephi в сообщении #108561 писал(а):

Помогите решить задачку
В выборке, состоящей из n= 21 изделий, только 7 бракованные. С вероятностью 0,95 оценить пределы, в которых будет находиться доля брака во всей партии, если известно, что вся партия содержит 700 изделий.

$N=700$ - количество изделий в генеральной совокупности,
$M$ - количество бракованных изделий в генеральной совокупности,
$n=21$ - объём выборки,
$m=7$ - количество бракованных изделий в выборке.

Нижнюю границу доверительного интервала $M_1$ находим решая уравнение:

$\sum_{m = 8}^{21}\frac{C_{M_1}^m C_{N-M_1}^{n-m}}{C_N^n}=0.025; M_1=129$


Верхнюю границу доверительного интервала $M_2$ находим решая уравнение:

$\sum_{m = 0}^{6}\frac{C_{M_2}^m C_{N-M_2}^{n-m}}{C_N^n}=0.025; M_2=363$

Доверительный интервал в долях $[0.184;0.519]$

[GAA]

Думаю, интервал [129, 363] слишком узок, чтобы гарантировать: вероятность накрытия им параметра $M$ не меньше наперед заданной доверительной вероятности $1-\varepsilon$, т.е. $\mathsf P \{M_1< M < M_2\} \ge 1- \varepsilon$.

В п.3 Построение доверительного интервала с использованием распределения точечной оценки параметра § 2.3 книги [3] приводится общая схема построения доверительного интервала для случая, когда функция распределения непрерывна и монотонна по параметру (и в частности, для дискретных распределений, например, для параметра бернуллиевсой модели, пример 2.34).
Для случая дискретного параметра, на мой взгляд, нет существенных отличий. Пусть $F(m; M) = \sum_{k=0}^m \frac {C_{N-M}^{n-k}C_{M}^k}{C_N^n}$ (функция распределения непрерывна справа). Следуя [1] и учитывая убывание функции распределения по параметру $M$, получим соотношения, которым должны удовлетворять границы доверительного интервала ($M_1$ и $M_2$):
$1 - F(m-1; M_1) \le \varepsilon/2$, $1 - F(m-1; M_1+1) > \varepsilon/2$;
$F(m; M_2) \le \varepsilon/2$, $F(m; M_2-1) > \varepsilon/2$.
При заданных $N$, $n$ и $m$, численный расчет в Maple дает значения $M_1=103$ и $M_2=397$, т.е. доверительным интервал уровня 0.95 для $M$ будет (103, 397), а для $M/N$ — (0.1471, 0.5671). Замечу, что центральный доверительный интервал (см. указанный выше пример 2.34 в [3]) для параметра $p$ биномиального распределения будет (0.1459, 0.5697). Т.е. переход к биномиальному распределению, как выше и предполагалось, оправдан.

[3] Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984 (djvu).

Добавлено 5.08.11.

О доверительном интервале для параметра $p$ биномиального распределения. Дополнение.
Границы центрального ($\mathsf P \{p \le p_1\} \le \varepsilon/2$ и $\mathsf P \{ p \ge p_2\} \le \varepsilon/2$) интервала $(p_1 < p <p_2)$ уровня $1- \varepsilon$ могут быть выражены через квантили распределения Фишера:

$$p_1 = \frac{m}{m+(n-m+1)f_{2(n-m+1), 2m}(1-\varepsilon/2)},$$

$$ p_2 = \frac{m+1}{m+1 + (n-m)f_{2(n-m), 2(m+1)}(\varepsilon/2)}.$$

Здесь $n$ — объем выборки, $m$ — число благоприятных исходов, $f_{\nu_1, \nu_2}(u)$ — квантиль уровня $u$ распределения Фишера c $\nu_1$ (числитель) и $\nu_2$ степенями свободы.


Вывод формул.
Общий ход. Зная производную функции биномиального распределения по параметру $p$, находим выражение этой функции через функцию бета-распределения, которую, в свою очередь, выражаем через функцию распределения Фишера.
Детали. Обозначим через $F_p (m)$ — функцию биномиального распределения. $\frac{d}{dp} F_p (m) = -\frac{n!}{m!(n-m-1)!}p^m(1-p)^{n-m-1}$, при $m=0, \ldots, n-1$. Используя это выражение для производной, можно записать
$F_p (m) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+1)\Gamma(n-m)} \int\limits_p^{1}y^m(1-y)^{ n-m-1}\,dy =$
$=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+1)\Gamma(n-m)} \int\limits_0^{1-p}y^{(n-m)-1}(1-y)^{(m+1)-1}\,dy \equiv B_{n-m, m+1} (1-p). $
Здесь через $B_{a, b} (x)$ обозначена функция B-распределения.

Функция распределения Фишера имеет вид

$$F_{\nu_1, \nu_2}(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_1+\nu_2}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{\nu_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\nu_2}{2}\right)} \int\limits_0^ x \frac{\left(\frac{\nu_1}{\nu_2} u \right)^{\frac{\nu_1}{2}-1}}{(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}u)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}}}\frac{\nu_1}{\nu_2}du. $$

Делая в $F_p(m)$ замену $y = \frac{z}{1+z}$, а затем $z=\frac{\nu_1}{\nu_2}x$ получим $B_{n-m, m+1}(1-p) = F_{2(n-m), 2(m+1)} \left( \frac{2(m+1)}{2(n-m)}\frac{1-p}{p}\right)$.
Границы доверительного интервала задаются соотношениями:
$1- F_{2(n-m+1), 2m} \left( \frac{2m}{2(n-m+1)} \frac{1-p_1}{p_1}\right) = \varepsilon/2$;
$F_{2(n-m), 2(m+1)} \left( \frac{2(m+1)}{2(n-m)}\frac{1-p_2}{p_2}\right) = \varepsilon/2$.
Отсюда получаются указанные выше границы доверительного интервала.

[chizhonkov]

Добрый день!

Возник вопрос в продолжение темы построения доверительного интервала для параметра биномиального распределения.

Пусть $m$ — количество благоприятных исходов, $n$ — объем выборки.
На всякий случай подытожу 3 варианта построения искомого доверительного интервала для параметра уровня $1-\varepsilon$:
1. $\left(m/n - c \sqrt{m(1-m/n)/n^2}, m/n + c \sqrt{m(1-m/n)/n^2} \right)$, где $c = \Phi^{-1}(1-\varepsilon/2)$, $\Phi(x)$ — функция стандартного нормального распределения, $\Phi^{-1}(x)$ — обратная к функции стандартного нормального распределения.
2. $\left(\sin^2\left(\arcsin\sqrt{m/n}-c/(2\sqrt{n})\right), \sin^2\left(\arcsin\sqrt{m/n}+c/(2\sqrt{n})\right)\right)$.
3. 3-й вариант совпадает с приведенным в предыдущем сообщении.

Предположим, что есть два биномиальных распределения, для каждого из которых мы можем построить такой доверительный интервал (по формулам, приведенным выше), т.е. доверительные интервалы для параметров $p_1$ и $p_2$.
В первом случае объем выборки был $n_1$, а количество благоприятных объектов - $m_1$.
В первом случае объем выборки был $n_2$, а количество благоприятных объектов - $m_2$.

Как теперь построить доверительный интервал для разницы параметров ($p_1-p_2$)?

[--mS--]

Посмотрите, например, статью Newcombe RG (1998) "Interval estimation for the difference between independent proportions: comparison of eleven methods".

[chizhonkov]

Спасибо!
Даже макрос нашел готовый!