Функция Лапласа и её многочисленные определения

[mmmm1998]

Приветствую, сообщество.

У меня появилось два вопроса по функции Лапласа и я думаю, это хорошее место, чтобы их задать.
1) Существует ли у функции Лапласа "каноническое" или стандартное определение?
Потому что, насколько я вижу, в разных книгах она определена по разному (хотя и схожим образом, и обычно функция Лапласса из одной математической книги тривиально преобразуется в другую), чтоприводит к том, что различные формулы, использующие эту функции, а также таблицы значений, отличаются от книги к книге.
Примеры определений:

$\Phi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{x}{e^{-t^2}} \mathop{dt}$
Ссылки: [1] [2] [3]

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-x}^{x}{e^{-t^2/2}} \mathop{dt} = \frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{0}^{x}{e^{-t^2/2}} \mathop{dt}$
Ссылки: [4] [5]

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{0}^{x}{e^{-t^2/2}} \mathop{dt}
Ссылки: [6] [7] (упоминается, как "Интегральная функция Лапласа")

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\inf}^{x}{e^{-t^2/2}} \mathop{dt}
Ссылки: [8] [9]

Есть ли какое-то общепринятое обозначение, или исторические первое, например?

2) Определена ли функция Лапласа вне рускоязычной (советской) математики?
Мне не удалось обнаружить упоминания функции Лапласа в английском сегменте интернета, там используется лишь функция ошибки:
$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x{e^{-t^2}} \mathop{dt}$ (очевидно, что любое из определений функции Лапласа можно задать через $erf$)

[StaticZero]

(LaTeX)

mmmm1998 в сообщении #1341993 писал(а):

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\inf}^{x}{e^{-t^2/2}} \mathop{dt}$

$\infty$ \infty

mmmm1998 в сообщении #1341993 писал(а):

$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x{e^{-t^2}} \mathop{dt}$

$\operatorname{erf}(x)$ \operatorname{erf}(x)

[Евгений Машеров]

Под функцией ошибок обычно понимают первое выражение. Последующие - функция нормального распределения (гауссиан). Связь между ними очевидна.
Третье и четвёртое различаются на 0.5, одно позволяет укоротить таблицы, приводя только для положительных аргументов, второе - упростить, а поскольку для расчётов вероятности используется разность значений в двух точках - результат будет одинаков (цинично предположу, что просто составителю таблиц с нижним пределом бесконечность платили за объём ;).
Вариант с симметричными пределами интегрирования достаточно редкий, встречается иногда в теории ошибок.
Что до названия - видимо, это эхо давних споров о приоритете, является ли распределение - Гаусса или Муавра-Лапласа. Пока англичане не ввели никому не обидное "нормальное". Видимо, авторы книг (или скорее их учителя) "болели за французов".

[alcoholist]

Евгений Машеров в сообщении #1342271 писал(а):

Первые - функция нормального распределения (гауссиан)

Все-таки функция нормального распределения это

mmmm1998 в сообщении #1341993 писал(а):

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{x}{e^{-t^2/2}} \mathop{dt}$
Ссылки: [8], [9]

[Евгений Машеров]

Спасибо за указание на описку. Поправил