вокруг экватора натянули веревку и увеличили длину на метр..

[Azog]

Недавно узнал такую задачу (ее рассказывал проф. Калинин на геологическом)

Представим себе что земля - идеальный шар, длина экватора - порялка 60 000 км. Строго параллельно экватору натянули веревку длиной 60 000 км и 1 метр. Вопрос: пролезет ли под веревкой кошка? (копать нельзя, веревка не растягивается и т.д.) убедительно прошу не публиковать решения) говорите только ответ)
надеюсь этой задачи еще не было..

[bot]

Не знаю, есть ли борода у профессора Калинина, но эта задача была известна в те времена, когда у него точно не было бороды, впрочем и самого его ещё не было.

[Профессор Снэйп]

Azog писал(а):

Представим себе что земля - идеальный шар, длина экватора - порялка 60 000 км. Строго параллельно экватору натянули веревку длиной 60 000 км и 1 метр. Вопрос: пролезет ли под веревкой кошка? (копать нельзя, веревка не растягивается и т.д.) убедительно прошу не публиковать решения) говорите только ответ)
надеюсь этой задачи еще не было..

Ну разве что "порялка"

А вообще-то

1) Длина земного экватора примерно равна 40 000 км. Если точно, то 40 075 696 м. Насколько мне известно, первый стандарт метра сделали из тех соображений, чтобы было ровно 40 000 000 м., но в XIX веке нужной точности измерений ещё не достигли и впоследствии, когда стандарт метра был уже зафиксирован, экватор перемерили и обнаружилось небольшое расхождение.

2) Когда говорят, что какая-то величина "порядка числа $n$", то обычно имеют в виду, что десятичный логарифм от неё имеет ту же целую часть, что и десятичный логарифм числа $n$. Другими словами, порядок числа 60 000 --- это "десятки тысяч". Сказать, что "длина экватора порядка 60 000 км." --- это всё равно, что сказать "длина экватора составляет от "10 000 км. до 100 000 км.".

[bot]

Угу, такая мысль сразу в голову пришла, только циферку забыл - подумал, что 30 000 и успокоился.

А так - нет такой параллели и стало быть: есть кошки на Земле или нет кошек на Земле - всё равно.

[Профессор Снэйп]

Кстати, о задаче. Вот здесь обсуждается её довольно интересное обобщение. В той формулировке, как её задал автор темы, задача в обсуждении тоже упоминается в качестве вырожденного случая. Ну а в наиболее общем виде (пара замкнутых контуров на кривой поверхности с небольшим зазором постоянной ширины) найти подходы к решению так и не удалось.

[Бодигрим]

Пролезет. Формула, связывающая длину и радиус окружности, ее протолкнет.

[Алексей К.]

Azog писал(а):

убедительно прошу не публиковать решения) говорите только ответ)
надеюсь этой задачи еще не было..

Гулливер с жирафом на голове не то, что пролезет --- продефилирует.
Думаю, я впервые прочитал задачу у Перельмана.

[Профессор Снэйп]

$100 \text{ см.} / 2 \pi \approx 15.92$ см. Домашняя кошка пролезет, а вот камышовый кот уже вряд ли.

Вы уж извиняйте, но мне хочется свернуть на обсуждение задачи, ссылку на которую я давал выше. Благо "задача о пролезающей кошке" действительно является её частным случаем.

1) Лыжня представляет из себя замкнутую гладкую кривую без самопересечений, проложенную на плоской поверхности (в тундре, например). Расстояние между двумя колеями лыжни постоянно и равно $h$, причем можно считать, что радиус кривизны кривой-лыжни в каждой её точке много больше $h$. Лыжник проходит круг по этой лыжне в положительном направлении обхода. Доказать, что его правая нога пройдёт расстояние на $2 \pi h$ больше, чем левая.

2) То же самая, только лыжня расположена на поверхности сферы (например, на земной поверхности) в районе северного полюса, ограниченном параллелью в $\varphi$ градусов северной широты. Верно ли, что разность расстояний, которые проходит его правая и левая нога, не больше чем $2 \pi h$ и не меньше чем $2 \pi h \sin \varphi$?

[Алексей К.]

Ваша верёвочка видимо в воздухе висит, а я свою натянул, подпорку поставил (нерастяжимости это, естественно, не проитворечит)

[Профессор Снэйп]

Думаю, у автора задачи вдоль экватора стоят негры и растягивают верёвочку

[Алексей К.]

Azog писал(а):

Строго параллельно экватору натянули веревку длиной 60 000 км и 1 метр.

Да, Вы правы... А я-то, дурашка, мучился...

[e2e4]

Профессор Снэйп писал(а):

Вы уж извиняйте, но мне хочется свернуть на обсуждение задачи, ссылку на которую я давал выше. Благо "задача о пролезающей кошке" действительно является её частным случаем.

1) Лыжня представляет из себя замкнутую гладкую кривую без самопересечений, проложенную на плоской поверхности (в тундре, например). Расстояние между двумя колеями лыжни постоянно и равно $h$, причем можно считать, что радиус кривизны кривой-лыжни в каждой её точке много больше $h$. Лыжник проходит круг по этой лыжне в положительном направлении обхода. Доказать, что его правая нога пройдёт расстояние на $2 \pi h$ больше, чем левая.

2) То же самая, только лыжня расположена на поверхности сферы (например, на земной поверхности) в районе северного полюса, ограниченном параллелью в $\varphi$ градусов северной широты. Верно ли, что разность расстояний, которые проходит его правая и левая нога, не больше чем $2 \pi h$ и не меньше чем $2 \pi h \sin \varphi$?

Уважаемый Проффесор, а чем эти задачи собственно интересны? Вроде бы все довольно просто доказывается, сложностей навскидку даже я не вижу .

[Профессор Снэйп]

e2e4 писал(а):

Уважаемый Проффесор, а чем эти задачи собственно интересны? Вроде бы все довольно просто доказывается, сложностей навскидку даже я не вижу .

Видите ли, я в дифференциальной геометрии слаб (что поделаешь, читали её у нас весьма халявно и всего 1 семестр, да и нету в Новосибирске нормальных специалистов в этой области). Так что мне эти задачи, увы, отнюдь не кажутся простыми.

Если можно, расскажите, как решается вторая. Первую я всё-таки способен решить самостоятельно

[Azog]

Ну одна оценка - более менее очевидна - дорога на сфере может не отличаться от дороги на плоскости..

[Профессор Снэйп]

Azog писал(а):

Ну одна оценка - более менее очевидна - дорога на сфере может не отличаться от дороги на плоскости..

Простите, не понял.