Равномерная непрерывность, определенный интеграл Римана

[Tiberium]

Добрый день!

Сейчас нам читают дополнительные главы математического анализа (на самом деле, это скорее теория интегрирования). Отчасти затрагиваются и темы, которым в курсе математического анализа уделялось не так много времени, например, равномерная непрерывность. В бакалавриате все ограничивалось рассмотрением теоремы Кантора, нескольких простых примеров типа $f(x) = x^2$, и все на этом.

Большая часть задач на грядущей контрольной будет посвящена интегралу Римана. На семинарах в основном возились с суммами Дарбу, все почти доказывалось через них. В отличие от того, что было в бакалавриате, семинарские задачи исключительно теоретического характера — доказать, показать, сформулировать и т.д.

Хочется к контрольной потренироваться и порешать подобные задачи, но в классических задачниках - Кудрявцева, Виноградовой и Садовничего - большая часть задач вычислительного характера.

Несколько вопросов:

1) Правильно ли я понимаю, в большинстве задач, где нужно доказать наличие/отсутствие равномерной непрерывности, приходится использовать ряд дополнительных свойств, таких как ограниченность производной, наличие/отсутствие конечного предела на бесконечности и т.д., а по определению равномерной непрерывности это сделать затруднительно.

Во многих учебниках по математическому анализу почему-то равномерная непрерывность достаточно кратко рассматривается: определение -- теорема Кантора -- несколько примеров. А тех удобных свойств, используя которые можно сделать вывод о наличии/отсутствии равномерной непрерывности, ни слова. В Демидовиче некоторые даются в качестве упражнений.

Может, есть какие-то сборники задач, где много подобных утверждений, свойств интересных. А ещё лучше, чтобы были указания для доказательства :)

2) Аналогичный вопрос про интеграл Римана. В стандартных учебниках и задачниках очень мало задач (или вообще нет), где через суммы Дарбу доказываются какие-то утверждения. Львиная доля задач на вычисления.

Где можно в большом количестве найти теоретические задачи на интеграл Римана?

[thething]

Загуглите "задачи на равномерную непрерывность", в первых ссылках будет хорошая методичка авторов Бутузов, Левашова, Шапкина

[Tiberium]

thething в сообщении #1341328 писал(а):

Бутузов, Левашова, Шапкина

Спасибо! Эту методичку я нагуглил. Ещё похожая методичка Кожевникова из МФТИ. Из них мы, наверное, на семинарах половину доказывали и рассматривали. Но я подумал, что есть какие-то сборники хитрых и полезных утверждений в области математического анализа с доказательствами:)

Типа книги Прасолова по линейной алгебре, где куча теорем, которые вообще в учебниках не встречаются :)

[thething]

Интересные задачи по анализу есть в книге "Избранные задачи по вещественному анализу", Макаров, Лодкина и др. Правда, там по интегралу тоже технические, но интересные технические, даже очень. По другим темам есть и теоремы.

[Tiberium]

thething в сообщении #1341338 писал(а):

Интересные задачи по анализу есть в книге "Избранные задачи по вещественному анализу", Макаров, Лодкина и др. Правда, там по интегралу тоже технические, но интересные технические, даже очень. По другим темам есть и теоремы.

Спасибо, посмотрю этот задачник.

Чтобы не плодить новые темы, спрошу здесь. Такая задача:

Пусть $ f: [0,1] \rightarrow [0,1]$ - непрерывная функция и $f([0,1]) = [0,1]$. Доказать, что существует такая точка $x_0 \in [0,1]$, что $f(x_0) = x_0$.

Нужно доказать, что график данной функции обязательно имеет точки пересечения с графиком прямой $y=x$.

Вроде, абсолютно очевидное утверждение, раз уж непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения. Но как это строго доказать?

[thething]

Покажите, что $f(x)-x$ на отрезке меняет знак

-- 25.09.2018, 16:40 --

Утверждение не сказать, чтобы совсем уж очевидно, т.к. нужны не все промежуточные значения, а именно что неподвижная точка.

[Lia]

Tiberium в сообщении #1341353 писал(а):

Чтобы не плодить новые темы, спрошу здесь.

Это новый способ не приводить попыток решения?

[Tiberium]

thething в сообщении #1341359 писал(а):

Утверждение не сказать, чтобы совсем уж очевидно, т.к. нужны не все промежуточные значения, а именно что неподвижная точка.

Да, я погорячился. Рассмотрим функцию $f(x)-x$ на $[0,1]$. Если условие не выполняется на границах, то $f(0)-0>0$, $f(1)-1<0$, тогда по теореме Больцано-Коши у данной функции есть нуль на $(0,1)$.